فصل نهم: كیفیاتى كه در كمیات قرار دارند و اثبات آنها
فصل نهم
كیفیاتى كه در كمیات قرار دارند و اثبات آنها
اَلْفَصْلُ التّاسِع
فِى الْكَیْفِیّاتِ الَّتی فِى الْكَمِیّاتِ وَاِثْباتِها
هذا الْفَصْلُ یَلیقُ بِالطَّبیعیّاتِ، (1) وَقَدْ بَقِىَ جِنْسٌ واحِدٌ مِنَ الْكَیْفِیّاتِ یَحْتاجُ اِلى اِثْباتِ وُجُودِهِ و اِلَى التَّنْبیهِ عَلى كَوْنِهِ كَیْفِیَّةً، وَهذِهِ هِىَ الْكَیْفِیّاتُ الَّتی فِى الْكَمِیّاتِ.
اَمَّا الَّتی فی الْعَدَدِ كَالزَّوْجِیَّةِ وَالْفَرْدِیَّةِ وَغَیْرِ ذلِكَ، فَقَدْ عُلِمَ وُجُودُ بَعْضِها وَاُثْبِتَ وُجُودُ الْباقی فی صَناعَةِ الْحِسابِ. وَاَمّا اَنَّها اَعْراضٌ، فَلاَِنَّها مُتَعَلِّقَهٌ بِالْعَدَدِ، وَخَواصُّ لَهُ، وَالْعَدَد مِنَ الْكَمّ، وَالْكَمّ عَرَضٌ.
وَاَمَّا الَّتی تَعْرِضُ لِلْمَقادیرِ فَلَیْسَ وُجُودُها بِبَیِّن، فَاِنَّ الدَّائِرَةَ وَالْخَطَّ
1. در نسخه‌‌هاى دیگر نیز تعبیر «... یلیق بالطبیعیات» آمده است. ولى به نظر مى‌‌رسد مناسبتر آن بود كه بگوید: «... یلیق بالتعلیمیات» زیرا، بحث در اوصاف مقدار است و مقدار موضوع بحث تعلیمیات است، نه طبیعیات. احتمال دارد كه مصنف این طبیعیات را در مقابل «ما بعد الطبیعة» به كار برده باشد، تا شامل تعلیمیات هم بشود. یعنى هرچه مربوط به مادیات است؛ اعمّ از طبیعیاتِ مصطلح و تعلیمیات. به هر حال، جاى بحث فوق، در تعلیمیات و ریاضیات است. زیرا، مسائلى كه اینجا مطرح مى‌‌شود یا مربوط به عدد است؛ و یا مربوط به مقدار هندسى است. مع‌‌الوصف، این پرسش همچنان مطرح است كه چرا این مباحث در الهیات مطرح مى‌‌شود؟ پاسخ آن، این است كه در تعلیمیات، وجود این امور، به عنوانِ اصل موضوعى تلقّى مى‌‌گردد. زیرا، ریاضیات یا هندسه، علومى نیستند كه به صورت برهانى در مقام اثبات وجود چیزى برآیند. اثبات این مسائل در «فلسفه اولى» و در «ما بعد الطبیعة» مطرح است. آنگاه، مسائل دیگرى نیز هست كه پیرامون وجود آنها بحث مى‌‌شود و به طور تَبَعى اینجا بدان اشاره مى‌‌شود. بنابراین، این مباحث از یك جهت كه همان جهت اثبات وجود آنها است به «ما بعد الطبیعة» و الهیات بالمعنى الاعمّ مربوط مى‌‌شود؛ و از جهت دیگر كه بحث ویژگى مقدار و عدد است و ویژگى عدد با تعلیمیات، مناسبت دارد به ریاضیات ارتباط پیدا مى‌‌كند.
گویا این بخش از سخن یعنى: «هذا الفصل یلیق بالطبیعیات» متمّم تیتر فصل است. یعنى این فصلى كه در كیفیات مختص به كمّیات است با طبیعیات، سازگارتر است. (یلیق بالطبیعیات) آنگاه، جمله «و قد بقى جنس واحد...» اوّل مطلب خواهد بود.
الْمُنْحَنی وَالْكُرَةَ وَالاُْسْطُوانَةَ وَالْمَخْرُوطَ لَیْسَ شَىْءٌ مِنْها بِبَیِّنِ الْوُجُودِ، وَلا یُمْكِنُ لِلْمُهَنْدِسِ اَنْ یُبَرْهِنَ عَلى وُجُودِها. لاَِنَّ سائِرَ الاَْشْیاءِ اِنَّها تَبَیَّنَ لَهُ بِوَضْعِ وُجُودِ الدّائِرَةِ، وَلاِنَّ ذلِكَ الْمُثَلَّثَ یَصِحُّ وُجُودُهُ اِنْ صَحَّتِ الدّائِرَةُ، وَكَذلِكَ الْمُرَبَّعَ، وَكَذلِكَ سائِرُ الاَْشْكالِ.
فصل نهم
كیفیاتى كه در كمیّات قرار دارند و اثبات آنها
چنانكه گفتیم، كیف در یك تقسیم معروف به چهار قسم تقسیم مى‌‌شود: كیفیات محسوس، كیفیات نفسانى، كیفیات استعدادى و كیفیات مختص به كمیات.
درباره كیف محسوس قبلا بحث شد. و بحث درباره دو قسم دیگر نیز در جاى خودش یعنى كتاب نفس، انجام پذیرفته است. از میان اقسام چهارگانه مذكور، تنها كیفیات مختصّ به كمیّات باقى ماندهاست كه اكنون باید درباره آنها نیز به بحث بپردازیم.
این قسم، نیازمند دوگونه بحث است:
الف ـ از یك سو، باید وجود چنین كیفیاتى را اثبات كنیم.
ب ـ از سوى دیگر باید كیف بودن و عَرَض بودن آنها را اثبات كنیم. یعنى علاوه بر اینكه باید اثبات كنیم آنها جوهر نیستند، همچنین باید اثبات كنیم كه آنها عَرَض بوده، تحت مقوله كیف مندرج‌‌اند.
كیفیات مختص به كمیات به دو دسته تقسیم مى‌‌شود:
الف ـ كیفیّاتِ عارض بر كم منفصل: یك دسته كیفیات مخصوص به كم منفصل، یا عدد است. این دسته به طور معمول در علم حساب مورد بحث قرار مى‌‌گیرد. مانند: فردیّت، زوجیّت، جذر، كعب وامثال این امور؛ فیلسوف ما‌‌بعد‌‌الطبیعى، تنها عرض بودن آنها را اثبات كرده، جوهریت آنها را نفى
مى‌‌كند. البته، اگر اثبات شود كه عدد، عَرَض است،(1) بى‌‌شك چنین چیزى نمى‌‌تواند جوهر باشد، و هر چیزى كه از جمله صفات و حالات عرض باشد خودش هم عرض خواهد بود.
بنابراین، دسته نخست كه كیفیات مخصوص به عدد را تشكیل مى‌‌دهند؛ مانند: زوجیت و فردیت، جذر، كعب، تربیع و امثال این امورى كه به اعداد نسبت داده مى‌‌شود و در ضمن بحث‌‌ها، در جاى جاى منطق به آنها اشاره شده است وجود آنها در علم حساب، اثبات مى‌‌شود.
پس، فیلسوف ما بعد الطبیعى تنها در این باره بحث مى‌‌كند كه اینها از قبیل اعراض‌‌اند. و اثبات آن بسیار آسان است. زیرا، این امور از خواص عدد هستند و پیش از این اثبات كرده‌‌ایم كه عدد، عرض است. در نتیجه، چیزى هم كه از خواص و حالات عدد باشد، از خودِ عدد به عرضیّت، سزاوارتر است و طبعاً خواصِ عدد، نمى‌‌تواند جوهر باشد.
ب ـ كیفیّات عارض بر كمّ متّصل: دسته دیگر كیفیاتى است كه عارض بر كمّ متصل مى‌‌شود. مانند: شكلهاى هندسى، اینها كیفیات و اعراضى هستند كه به مقادیر نسبت داده مى‌‌شوند. به طور مثال: شكلهاى مسطّح مانند دایره، مربّع و مثلث؛ اینها كیفیاتى هستند براى سطح، و سطحْ خودش مقدار است كه كیفیت خاصّى را مى‌‌یابد. مانند شكل دایره؛ امّا، درباره اینكه ماهیتِ شكل چیست؟ بحثهاى ظریفى وجود دارد كه مصنف در اینجا متعرّض نشده است. صدرالمتألهین در حاشیه خود بر شفا،(2) بحثهاى مفصلى در این زمینه مطرح كرده كه در اسفار و كتب دیگر بدانها نپرداخته است.
1. نظر صحیح درباره حقیقت عدد: آنچه درباره عرض بودن عدد گفته شد در صورتى صحیح است كه عدد را یك قسم از مقولاتِ خاص و از امور ماهوى بدانیم. امّا اگر عدد را از امور انتزاعى دانستیم، در این صورت كیفیات مخصوص به كمیات هم از قبیل انتزاعیات خواهند بود. امّا، حقیقت این است كه عدد از امور انتزاعى است و از جمله «معقولات ثانیه فلسفى» به شمار مى‌‌رود.
2. ر.ك: تعلیقه صدرالمتألهین بر شفا ص 140 ـ 141.
به هر حال، شكلهایى كه در سطوح به كار مى‌‌رود؛ مانند: مثلث، مربع و...، اینها كیفیاتى هستند كه به سطح نسبت داده مى‌‌شود. همچنین در مجسّمات؛ شكلهایىكه در حجم‌‌ها و اجسام تعلیمى بكار مى‌‌رود، مانند: شكل كره، استوانه، مكعّب و امثال اینها كیفیاتى هستند كه به حجم و به جسم تعلیمى نسبت داده مى‌‌شود. یعنى معروض و موصوف آنها مقدار و كمیت متّصل است.
پرسش اصلى درباره این امور، آن است كه آیا اینها واقعاً وجود حقیقى دارند؟ یعنى آیا دایره به طور مثال، آنچنانكه در هندسه تعریف مى‌‌شود، در خارج نیز با همین ویژگى‌‌ها وجود دارد؟ همچنین آیا مثلّث آنگونه كه تعریف مى‌‌شود واقعاً در خارج هم وجود دارد؟ یا خطّ مستقیم، به همان شكلى كه در تعریف مى‌‌آید در خارج هم واقعاً وجود دارد؟ یا اینكه، همه اینها امور فرضى هستند كه مهندسان و دانشمندان علم هندسه، آنها را به صورت «اصل موضوع» لحاظ كرده و سایر شكلها را بر اساس آن، اثبات مى‌‌كنند. یعنى به طور مثال وجود دایره را مفروض انگاشته‌‌اند و بر اساس آن، سایر شكلها را اثباتمى‌‌كنند. امّا، وجود دایره بدیهى نیست؛ و مى‌‌توان در آن مناقشه نمود. همچنانكه برخى مناقشه كرده‌‌اند. آنها كه قائل به «جزء لایتجزّى» هستند، گفته‌‌اند: دایره وجود حقیقى ندارد. دایره در نظرِ نخستینِ ما انسانها دایره است؛ امّا، اگر با دقت در آن بنگریم، خواهیم دید كه شكلِ آن دندانه دار است. زیرا، از «اجزاء لایتجزّى» تشكیل شده است. هرگاه این اجزاء در كنار هم قرار گیرند، تنها مى‌‌توانند خطّ مستقیم را تشكیل بدهند. از چینش آنها در كنار یكدیگر، خطّ منحنى پدید نمى‌‌آید. براى آنكه خطّ، منحنى شود، باید فواصلى از خارجِ خط براى آن پدیدار گردد تا آن را به صورت دندانه، دندانه و در نتیجه به صورت منحنى درآورد. بدینسان، گرچه در ظاهر دایره‌‌اى رسم مى‌‌شود؛ امّا، قائلین به «جزء لایتجزّى» مى‌‌گویند: این شكل، دایره حقیقى نیست. از روى مسامحه بدان دایره گفته مى‌‌شود.
بنابراین، باید در برابر كسانى كه وجود حقیقىِ دایره را انكار مى‌‌كنند، اثبات كرد كه دایره حقیقى در خارج وجود دارد.
مهندسان، وجود دایره را در همه شكلهاى هندسى به عنوان «اصل موضوع» مطرح مى‌‌كنند چنانكه هندسه اقلیدس بر همین اساس استوار گردیده است.
جناب شیخ نیز در ریاضیات، در باب هندسه، وجود دایره را به عنوان «اصل موضوع» بیان داشته است. بى‌‌شك، اصل موضوع باید در یك علم به اثبات رسد. علمى كه عهده‌‌دار اثباتِ این اصل موضوعى است، لاجَرَم فلسفه اولى خواهد بود. در فلسفه اولى اثبات مى‌‌شود كه دایره حقیقى، وجود دارد. آنگاه بر اساس آن، وجود سایر شكلها نیز اثبات مى‌‌گردد. بنابراین، وجود دایره و وجود خطّ منحنى، بدیهى نیست. زیرا، چنین نظریاتى با تشكیك قائلین به «جزء لایتجزّى» مواجه شده است. از این رو، باید در مقام دفاع و پاسخ به آنها اثبات نمود كه دایره حقیقى و خطِّ منحنىِ حقیقى، وجود دارد.
كیفیاتى كه به مقادیر، یعنى به كم متصل نسبت داده مى‌‌شود، وجودشان بدیهى نیست. زیرا، امورى مانند دایره، خط منحنى، كره، استوانه و مخروط و نظایر آن، همه بر وجود دایره، مبتنى مى‌‌باشند، از این رو، نخست باید وجود دایره را مفروض انگاشت، آنگاه گفت: هرگاه دایره‌‌اى را حول قطرِ آن بچرخانیم یا دایره‌‌اى را در دایره دیگر بچرخانیم، كره بوجود مى‌‌آید. بنابراین، اثباتِ كُره، بر اثبات وجود دایره استوار است. همچنین وجود استوانه، بر اثبات وجود دایره، مبتنى است. نخست باید دایره را اثبات كرد؛ آنگاه گفت: هرگاه دایره را به گونه‌‌اى حركت دهیم كه محاذى مركز خودش خط مستقیمى بر مركز این دایره عمود شود، و حولِ آن محور، دایره را به طرف بالا بیاوریم، استوانه پدید مى‌‌آید.
خلاصه آنكه، اثبات همه این شكلها، مبتنى بر اثبات وجود دایره است. بنابراین در شكلهاى كره، استوانه و مخروط، وجود دایره، مفروض انگاشته مى‌‌شود. به طور مثال: اثبات وجود مخروط، به اثبات وجود دایره منوط مى‌‌گردد. زیرا، در قاعده مخروط دایره قرار دارد. حول این دایره است كه مثلثى مى‌‌چرخد و در اثر آن مخروط پدید مى‌‌آید. بنابراین، هیچكدام از شكلهاى یاد شده، بدیهى و بیّن الوجود نیستند.
مهندس و دانشمند هندسى نمى‌‌تواند بر وجود این شكلها برهان اقامه كند. زیرا، اگر بخواهد تنها در قلمرو علم هندسه، بحث كند؛ به مقدّماتى كه متناسب با اثبات وجود آن شكلها است بر نمى‌‌خورد؛ از این رو نمى‌‌تواند وجود شكلهاى یاد شده را اثبات كند. چون اثبات وجود آنها، نیازمند برهانى است كه از مقدماتِ فلسفى تشكیل مى‌‌شود. بنابراین، مهندس وقتى مى‌‌خواهد سایر شكلها همچون كره، استوانه، مخروط و...، را اثبات كند؛ نیازمند آن است كه وجود دایره را مفروض انگارد. لذا، این شكلها در صورتى براى مهندس اثبات مى‌‌شود. كه وجود دائره را به عنوان «اصل موضوع» مبنا قرار دهد. به طور مثال: با چرخاندن یك مثلثِ قائم‌‌الزاویه بر گردِ عمود و ارتفاعش، مخروط پدید مى‌‌آید. كه در این صورت مثلث بر روى محیط دایره قرار مى‌‌گیرد؛ و آنگاه با چرخاندنش، مخروط پدید مى‌‌آید.
وانگهى، حتى وجود مثلث در هندسه نیز بر اساس دایره اثبات مى‌‌شود. چنانكه هرگاه دو شعاع از دایره را در نظر بگیریم و میان منتهى‌‌الیه آن دو كه به محیط مى‌‌رسد یك خط مستقیم دیگرى فرض كنیم، مثلث پدید مى‌‌آید. در نتیجه، وجود مثلث نیز بر اساس وجود دایره اثبات مى‌‌گردد. همینطور سایر شكلها به ترتیب یكى پس از دیگرى بر اساس دایره اثبات مى‌‌شود. به طور مثال، پس از آنكه وجود مثلث اثبات شد؛ مثلث دیگرى را كه آن نیز قائم‌‌الزاویه است، بدان مى‌‌افزاییم، مربع پدید مى‌‌آید.
وَاَمَّا الْكُرَةُ، فَاِنَّما یَصِحُّ وُجُودُها عَلى طَریقَةِ الْمُهَنْدِسِ اِذا اَدارَ دائِرةً فی دائِرَة عَلى نَحْوِ ما عَلِمْتَ، وَالاُْسْطُوانَةُ اِذا حَرَّكْتَ دائِرَةٌ حَرَكَةً یَلْزَمُ فیها مَركَزُها خطّاً مُسْتَقیما(1) طَرَفُهُ مَرْكَزُها فی اَوّلِ الْوَضْعِ لُزُوماً عَلَى الاِْسْتِقامَةِ. وَالْمَخْرُوطُ اِذا حَرَّكَتْ مُثَلَّثاً قائمَ الزّاوِیَةَ عَلى اَحَدِ ضِلْعَىِ الْقائِمةِ حافِظاً بِطَرَفِ ذلِكَ الضِّلْعِ مَرْكَزَ الدّائرَةِ وَدائراً بِالضِّلْعِ الثّانی عَلى مُحیطِ الدّائِرَةُ. ثُمَّ الدّائِرَة مِمّا یُنْكِرُ وُجُودَها مَنْ یَرى تَأْلِیفَ الاَْجْسامِ مِنْ اَجْزاء لا تَتَجَزّأ، فَیَجِبُ اَنْ یُبَیَّنَ وُجُودُ الدّائِرَةِ. وَاَمّا عَرَضِیَّتُها فَتَظْهَرُ لَنا لِتَعَلُّقِها بِالْمَقادیرِ الَّتی هِىَ اَعْراضٌ.
اثبات كره، مخروط و دایره
آنچه تاكنون درباره شكلها گفتیم، به شكلهاى مسطح مربوط بود. امّا، اثبات كره، به شیوه‌‌اى كه مهندسان عمل مى‌‌كنند از این قرار است:
آنها براى اثبات كره، دو دائره را در نظر مى‌‌گیرند كه یكى در درون دیگرى مى‌‌چرخد، یا دایره‌‌اى را برمحور قطر خودش مى‌‌چرخانند، و بدینسان اثبات مى‌‌كنند كه كره وجود دارد. همچنین براى اثبات وجود استوانه، نخست وجود دایره‌‌اى را فرض مى‌‌كنند؛ آنگاه بر روى مركز دایره یك خط مستقیمى عمود مى‌‌كنند كه همان محور حركت دایره را تشكیل مى‌‌دهد. سپس دایره را حول این محور تا منتهى‌‌الیه خط مستقیمى كه فرض شده است بالا مى‌‌آورند؛ در این صورت، استوانه پدید مى‌‌آید.
1. این عبارت، نامأنوس و غریب است. معناى آن این است كه: دایره را به گونه‌‌اى حركت دهیم كه مركز آن، ملازم یك خطّ مستقیم باشد. یعنى نخست باید روى مركز دایره خط مستقیمى را عمود كنیم؛ آنگاه مركز دایره را به گونه‌‌اى حركت دهیم كه این مركز، همواره با آن خطِ مستقیم، ملازم باشد و از آن انحراف پیدا نكند.
بنابراین، هرگاه دایره را به طور مستقیم بالا آوریم آنسان كه در هر جایى دایره را در نظر گرفتیم، مركزش به آن خط مستقیم، متصل باشد؛ در این صورت، استوانه رسم مى‌‌شود.
توضیح عبارت «و الاسطوانة...»
هر شكلى كه در آن، مركز دائره با یك خط مستقیم ملازم باشد، و منتهى‌‌الیه خطِ مستقیم مركز همان دایره باشد. در این صورت هرگاه دایره به گونه‌‌اى حركت داده شود و بالا آورده شود كه با مركز دایره ملازم باشد، استوانه رسم مى‌‌شود. یعنى: در نخستین مرحله‌‌اى كه مى‌‌خواهید خط مستقیم را رسم كنید، ابتدایش را از مركز دایره در نظر بگیرید. آنگاه دایره را حول محور آن خط مستقیم حركت دهید و بالا آورید. (گرچه این حركت ملازم با مركز دایره است، امّا ملازم بودنش به صورتهاى گوناگون مى‌‌تواند باشد) امّا، حركتى كه ملازم با مركز دایره است، به صورت مستقیم (على الاستقامة) باشد. یعنى خطِ مستقیمى باشد كه مركز دایره از آن جدا نشود و به صورت مستقیم بالا بیاید. در این صورت است كه استوانه رسم مى‌‌شود.
اثبات مخروط: مخروط، اینگونه شكل مى‌‌گیرد كه نخست یك مثلث قائم الزاویه رسم شود، آنگاه، ضلع قائم این مثلث بر روى یك دایره كه منتهى الیه آن است قرار گیرد، به گونه‌‌اى كه ضلع مذكور به مركز دایره متصل شود. سپس، آن ضلع، ثابت نگهداشته شود و مثلث بر حولِ آن چرخانده شود؛ آنسان كه منتهى الیه مثلث بر روى قاعده دایره بچرخد. و محیط دایره چرخانده شود تا در اثر آن، مخروط پدید آید.
بنابراین، نخست باید مثلث قائم الزاویه‌‌اى را فرض كرد. این مثلث را كه دو ضلع دارد و مى‌‌توان هر دوى آنها را قائم فرض كرد، یكى از آندو را قاعده و دیگرى را ارتفاع در نظر مى‌‌گیریم. آنگاه روى یكى از این ضلع‌‌ها، آن را حركت مى‌‌دهیم، به‌‌گونه‌‌اى كه منتهى الیه این ضلع را روى مركز دایره ثابت نگه داریم.
پس، نخست باید دایره‌‌اى فرض كنیم كه مركزش مشخص باشد، منتهى الیه ضلع مثلث قائم الزاویه روى آن مركز قرار گیرد و ثابت و پابرجا بماند،
آنگاه، مثلث را گرد همین ضلع حركت مى‌‌دهیم تا مخروط بوجود آید. «حافظاً بطرف ذلك الضلع» یعنى طرف همان ضلع قائم را در مركز دائره، ثابت نگهداریم. منتهى الیه این ضلع بر روى مركز دایره باشد و ضلع قائمِ دیگر آن كه بر روى دایره قرار گرفته است بر روى محیط دایره چرخانده شود. «دائراً بالضلع الثانى» یعنى یك ضلع دیگر قائم را كه با آن ضلع قائم مجموعاً یك زاویه قائمه تشكیل مى‌‌دهند، روى محیط دایره چرخانده شود در حالیكه منتهى الیه ضلع اولى روى مركز دایره ثابت باشد.
بنابراین، ملاحظه مى‌‌كنید كه اثبات همه این شكلها: خواه كُره باشد، خواه استوانه و خواه مخروط؛ متوقف بر وجود دایره است.
ناتوانى مهندس از اثبات دایره
اثبات دایره: وجود دایره بدیهى نیست. كسانیكه قائل به اجزاء لایتجزّى هستند، وجود دایره حقیقى را انكار مى‌‌كنند. امّا اثبات وجود دایره از عهده مهندس، بیرون است. مهندس، شكلهاى دیگر را بر اساس وجود دایره اثبات مى‌‌كند. امّا، نمى‌‌تواند وجود دایره را اثبات نماید. از این رو، آن را به عنوان «اصل موضوع» مى‌‌پذیرد.
فیلسوف الهى و ما بعدالطبیعى باید وجود دایره را اثبات كند تا سایر ساخته‌‌ها و پرداخته‌‌هاى مهندسان، مبرهن شود.
اما اینكه چرا مهندس نمى‌‌تواند وجود دایره را اثبات كند؟ دلیلش آن است كه انكار كننده‌‌گان دایره، قائل به وجود اجزاى لایتجزّى هستند. و مهندس در شأنى نیست كه بتواند بر اثبات یا نفى «جزء لایتجزّى» برهان اقامه كند. این بحث كه «جزء لایتجزّى» وجود دارد یا نه، ممكن است یا محال؟ برعهده مهندس نیست. از این رو، فیلسوف الهى باید وجود دایره را اثبات كند؛ تا بر اساس آن، یك «اصل موضوع» براى اثبات سایر شكلها فراهم گردد.
بنابراین، ما در این بحث نیازمند اثبات دو مطلب هستیم:
الف) دایره، وجود دارد.
ب) دایره، عَرَض است.
اثبات مطلب دوّم، آسان است. زیرا، دایره كیفیتى است از كیفیات كم متصل. وقتى كمّ بودن و عَرَض بودن خودِ مقدار را اثبات كردیم، عَرَض بودن حالات آن نیز به طریقِ اولى اثبات مى‌‌شود.
فَنَقُولُ: اَمّا عَلى مَذْهَبِ مَنْ یُرَكِّبُ الْمَقادیرَ مِنْ اَجْزاء لا تَتَجَّزأُ فَقَدْ یُمْكِنُ اَنْ یُثْبَتَ عَلَیْهِ اَیْضاً وُجُودُ الدّائرَةِ مِنْ اُصُولِهِ، ثُمَّ یُنْقَضُ بِوُجُودِ الدّائِرَةِ جُزْءُهُ الَّذی لا یَتَجَزَّأُ. وَذلِكَ لاَِنَّهُ اِذا فُرِضَتْ دائِرَةٌ عَلَى النَّحْوِ الْمَحْسُوسِ، وَكانَتْ عَلى ما یَقُولُونَ غَیْر دائِرَة فِى الْحَقیقَةِ، بَلْ كانَ الْمُحیطُ مُضَرَّساً. وَكَذلِكَ اِذا فُرِضَ فیها جُزْءٌ عَلى اَنَّهُ الْمَرْكَزُ، وَاِنْ لَمْ یَكُنْ ذلِكَ الْجُزْءُ مَرْكَزاً بِالْحقیقَةِ، فَقَدْ یَكُونُ عِنْدَهُمْ مَرْكَزاً فِى الْحِسِّ، یُجْعَلُ الْمَفْروُضُ مَرْكَزاً فِى الْحِسِّ طَرَفَ خَطٍّ مُؤَلّف مِنْ اَجْزاء لا تَتَجَزَّأ، مُسْتَقیم، فَاِنّ ذلِكَ صَحیحُ الْوُجُودِ مَعَ فَرْضِ ما لا یَتَجَزَّأٌ. فَاِن طُوبِقَ بِطَرَفِهِ الاْخَرِ جُزْءٌ مِنَ الَّذی عِنْدَ الْمُحیطِ، ثُمَّ اُزیلَ وَضْعُهُ، وَاُخِذَ الْجُزْءُ الَّذی یَلِى الْجُزْءَ الَّذی مِنَ الْمُحیطِ الَّذی اِعتَبَرْناهُ وَطابَقْنا بِهِ الْخَطَّ اَوَّلا فَطُوبِقَ بِهِ رَأْسُ الْخَطِّ الْمُسْتَقیم مُطابَقَةً مُماسَّةً اَوْ مُوازاةً اِلى جِهَةِ الْمَرْكَزِ. فَاِنْ طابَقَ الْمَرْكَز فَذلِكَ الْغَرَض، وَاِنْ زادَ اَوْ نَقَصَ فَیُمْكِنُ اَنْ یُتَمَّمَ ذلِكَ بِالاَْجْزاءِ حَتّى لا یَكُونَ هُناكَ جَزْءٌ یَزیدُ، لاَِنَّهُ اِنْ زادَ أُزیلَ، وَاِنْ نَقَصَ تُمِّمَ، وَاِنْ نَقَصَ بِاِزالَتِهِ وَزادَ بِاِلْحاقِهِ فَهُوَ مُنْقَسِمٌ لا مَحالَةَ وَقَدْ فُرِضَ غَیْرَ مُنْقَسِم. فَاِذا جُعِلَ كَذلِكَ بِجُزْء جُزْء تَمَّتِ الدّائِرَةُ.
راههاى اثبات وجود دائره حقیقى
در این فصل بر آنیم كه وجود دایره را اثبات كنیم. وجود دایره از دو راه اثبات مى‌‌شود:
راه نخست: نخستین راهِ اثبات وجود دایره، در برابر كسانى كه قائل به «جزء لایتجزّى» هستند راه جدلى است. در این راه، اصول مورد قبولِ طرفِ مناظره، همچون اعتقاد به «جزء لایتجزّى» و حقیقى نبودن دایره‌‌هاى موجود، پذیرفته مى‌‌شود. مع‌‌الوصف اثبات مى‌‌شود كه لازمه سخن شما این است كه دایره حقیقى نیز ممكن باشد. آنگاه، پس از اثبات امكان دایره حقیقى، اثبات خواهد شد كه «جزء لایتجزّى» باطل است. زیرا، میان آندو، ناسازگارى و تناقض وجود دارد.
راه دوم: راه دوّم آن است كه ما به طور مستقل و با صرف نظر از سخنانِ طرفِ مقابل، برهان اقامه كنیم بر اینكه دایره حقیقى وجود دارد. مصنّف غیر از بیان جدلى، دو برهان هم براى اثبات دایره اقامه خواهد كرد.
نخستین بیان براى اثبات دایره حقیقى، بر اساس مذهب كسانى است كه مى‌‌گویند مقادیر از اجزاء لایتجزّى تركیب شده‌‌اند. بنابراین، مصنف در این مجال بر آن است كه با قائلان به جزء لایتجزّى، یك بحث جدلى در میان گذارد. از این رو، مىگوید:
فرض مى‌‌كنیم كه جزء لایتجزّى وجود دارد؛ و مقادیر و كمیّت‌‌هاى هندسى، همه از اجزاء لایتجزّى تشكیل شده‌‌اند. مع الوصف، اثبات مى‌‌كنیم كه حتى بر اساس چنین مبنایى نیز دایره حقیقى وجود دارد. نخست طبق مبناىِ طرفِ مقابل اثبات مى‌‌كنیم كه دایره حقیقى وجود دارد؛ آنگاه، جزء لایتجزّى را نیز ابطال مى‌‌كنیم.
توضیح مطلب: دایره‌‌اى را كه از روى مسامحه بدان دایره مى‌‌گویند و حقیقتاً دایره نیست در نظر مى‌‌گیریم. این دایره طبق نظرِ خصم، دایره حقیقى نیست. یعنى محیط آن، خط منحنى نیست؛ بلكه خطِّ مضرّس و دندانه‌‌دار است. همچنین براى دایره مركزى را در نظر بگیریم كه آن هم جزء لایتجزّى است. بنابراین، این دایره هم مركزى دارد كه جزء لایتجزّى است و هم محیطش،
مضرّس و مركّب از اجزاء تجزیه‌‌ناپذیر است و خطّ منحنىِ حقیقى نیست. به نظرِ خصم، مركزى كه در حسّ انسان، مركز مى‌‌نماید، در واقع، مركز حقیقى نیست. درنتیجه، آن جزء لایتجزایى كه در ظاهر وسط است، مركز مسامحى است. این حسّ ما است كه آن را مركز مى‌‌انگارد. وگرنه از نظر دقّى فلسفى، مركز نیست. چون وقتى محیط دایره، مضرّس باشد، مركز حقیقى نمى‌‌تواند داشته باشد.
به هر تقدیر، ما این جزء لا‌‌یتجزّایى را كه مركز مسامحى براى دایره است، منتهى الیه یك خطِ مستقیم در شعاعى كه رسم مى‌‌كنیم قرارش مى‌‌دهیم، و رسم خط مستقیم حتّى بر اساس قول به اجزاء لا یتجزّى مانعى ندارد.
حال، این خطّى را كه از مركز دایره به طرف محیط دایره، رسم كرده‌‌ایم، اگر منطبق بر جزئى از محیط دایره شود كه آن جزء هم طبعاً جزئى لایتجزّى است در این صورت، خطّ مستقیمى بینِ آندو، به صورت شعاعِ دایره رسم شده است. سپس، وضعِ كنونى را تغییر مى‌‌دهیم؛ یعنى این خط مستقیم را كه به جزء لایتجزّى در محیط دایره وصل شده بود؛ از جزء پیشین برداشته و به جزء بعدى متصل مى‌‌كنیم. درنتیجه، شعاعى كه میان مركز و جزء نخستین رسم شده بود، با اندكى تغییر، آنرا به جزء بعدى در محیط دایره، متصل مى‌‌كنیم. یعنى خط مستقیمى كه تاكنون به جزء لایتجزّى در محیط دایره، وصل شده بود، و خط را بر آن تطبیق كرده بودیم، اینك آن را از آن خط زایل كرده، به جزء بعدى، متصل مى‌‌كنیم. در این صورت، خط مستقیم از مستقیم بودن، خارج نمى‌‌شود. زیرا، این خط نیز مطابق است با همان خط قبلى؛ حال، این مطابقت یا به صورتِ مماسه است؛ یا به صورتِ موازات است.یعنى طرفِ مناظره باید بپذیرد كه خط جدید پهلوى خط پیشین رسم مى‌‌شود و مماس با آن است. و در غیر این صورت، خطى بر روى خطِ پیشین و موازى با آن رسم مى‌‌شود؛ امّا، به گونه‌‌اى كه به جزء لا یتجزّاىِ بعدى
متصل مى‌‌گردد. و از آن رو كه طرف دیگر آن به مركز وصل مى‌‌شود با خط پیشین فرقى نمى‌‌كند. هردوى آنها، دو شعاعى خواهند بود كه در كنار یكدیگر نهاده شده و به مركز دایره متصل مى‌‌گردند.
حال، باید دید كه این خط مستقیم یعنى همان شعاعى كه یك طرف آن به جزء بعدى محیط متصل شد، آیا در امتداد خود به مركز دایره مى‌‌رسد یا نه؟ این پرسش از آن رو مطرح مى‌‌شود كه بر حسب فرض محیط دایره مضرّس و دندانه‌‌دار است و همین امرْ زمینه این سؤال را فراهم مى‌‌كند كه آیا یك طرف خط به مركز دایره متصل مى‌‌شود یا نمى‌‌شود؟ اگر یك طرف خط به مركز دایره مى‌‌رسد و از این جهت كه طرف دیگرش به جزء بعدى محیط دایره متصل مى‌‌شود (یعنى به آن جزئى كه پس از تلاقى خطّ پیشین با محیط دایره قرار دارد وصل مى‌‌شود) با خط پیشین فرقى نمى‌‌كند؛ پس معلوم مى‌‌شود كه این دو شعاع مساوى‌‌اند.
همچنین شعاع سوم و چهارم و پنجم... نیز مساوى خواهند بود. در نتیجه، دایره مذكور، حقیقى خواهد بود. و این همان چیزى است كه ما بدنبال آن هستیم. زیرا، ما نیز مىگوییم دایره حقیقى، آن است كه همه شعاع‌‌ها و خطوطى كه بین مركز و محیط دایره رسم مى‌‌شود، با هم مساوى‌‌اند.
امّا، اگر بگویید شعاع و خط مستقیم دوّم را وقتى با خط مستقیم نخست مى‌‌سنجیم مى‌‌بینیم در اثر تضریس محیط، یا كمتر است و یا بیشتر! در این صورت اگر كوتاهتر باشد یك جزء لایتجزّى بر آن مى‌‌افزاییم تا مساوى شود. و اگر بیشتر باشد یك جزء لایتجزّى از آن مى‌‌كاهیم. یعنى اگر نقطه‌‌اى در محیط دایره در اثر تضریس برآمدگى داشته و به همین دلیل خطّى كه به آن وصل شده، بلندتر شود، یك جزء لایتجزّى از آن برآمدگى برمى‌‌داریم، تا این شعاع با خط پیشین مساوى شود. و اگر در محیط دایره، در اثر تضریس،
فرورفتگى پیدا شده و همین امر، دلیل كوتاهتر شدن این شعاع از شعاع پیشین گشته است، در این صورت، یك جزء لایتجزّى بدان مى‌‌افزاییم تا مساوى شود.
بنابراین، فزونى و كاستىِ شعاع‌‌ها و خطوط را با افزودن و كاستن «جزء لایتجزّى» مساوى مى‌‌كنیم. و بدینسان اگر خطى بیشتر است، جزئى از آن را برمى‌‌داریم و اگر كمتر است، جزئى بر آن مى‌‌افزاییم.
امّا، اگر با افزودن «جزء لایتجزّى»، خط كوتاهتر، با خطوط دیگر مساوى نمى‌‌شود، بلكه از آنها بلندتر مى‌‌شود. همچنین با كاستن «جزء لایتجزّى» از خط بلندتر، آن خط از خطوط دیگر كوتاهتر مى‌‌شود، معلوم مى‌‌شود كه این جزء، «جزء لایتجزّى» نیست، بلكه دو جزء دارد، و با نصفِ آن، تساوى به وجود مى‌‌آید. یعنى جزءِ مذكور به گونه‌‌اى است كه اگر همه آن را بیفزاییم یا بكاهیم، حالت تساوى پدید نمى‌‌آید. بلكه یا بیشتر مى‌‌شود و یا كمتر. در این صورت معلوم مى‌‌شود كه این جزء، «جزء لایتجزّى» نیست.
به هر حال، براى پدیدآوردن یك دایره حقیقى، باید كاستى‌‌ها و فزونى‌‌ها را با افزودن جزء و كاستن آن، از بین برد و خطوط را مساوى كرد؛ تا در پرتو آن، دایره حقیقى شكل گیرد.
توضیح راه نخست (راه جدلى)
مصنف، ابتدا راهِ نخست را برمى‌‌گزیند و از این رهگذر با قائلین به «اجزاء لاتتجزّى» مى‌‌ستیزد. حاصل بیان ایشان در اینجا این است: سطحى را كه به نظر شما در خارج دایره مى‌‌نماید، و آنرا یك موجودحقیقى مى‌‌انگارید؛ و مى‌‌گویید این دایره، سطح جسمى است همچون سطحِ قاعده یك استوانه و یا یك مخروط. چون، دایره در خارج، لاجرم بر روى یك جسم خواهد بود. چنانكه اگر جسمى به شكل استوانه باشد قاعده‌‌اش از دو طرف، دایره است، و اگر به شكل مخروط باشد یك قاعده دارد كه همان دایره است.
حال، اگر كلّه قندى به شكل مخروط ساخته شود طبق نظر قائلین به «جزء لایتجزّى»، وقتى این قند خورد و به اندازه‌‌اى ریز مى‌‌شود كه به اجزاى غیر قابلِ شكستن مى‌‌رسد ـ یعنى به آنجا مى‌‌رسد كه نه عقلا قابل شكستن است و نه خارجاًـ چنین اجزائى وقتى كنارهم قرار مى‌‌گیرند مى‌‌توانند به گونه‌‌اى چیده شوند كه خطّ مستقیم را به وجود آورند. امّا اگر بخواهند به صورت منحنى درآیند، باید به گونه‌‌اى چیده شوند كه تقعّر خط منحنى با تحدّبش متفاوت باشد. یعنى باید جهت خارجى آن با جهت داخلى آن فرق كند. فضاى داخلى خط منحنى از فضاى بیرون خط منحنى كمتر است. در حالى كه اجزاء تشكیل دهنده خط منحنى همان اجزائى هستند كه خطِ مستقیم را مى‌‌سازند و با هم فرق نمى‌‌كنند.
وقتى اجزاء خط مستقیم، منحنى مى‌‌شوند، بین اجزاء آن از خارج فاصله‌‌هایى پدید مى‌‌آید، گرچه آن فاصله‌‌ها با چشم قابل دیدن نیستند. امّا، براى آنكه منحنى شود لاجرم، سطح درونى آن با سطح بیرونىِ آن فرق خواهد كرد. یعنى باید اجزاءِ آن از درون به هم متّصل شوند و از بیرون فاصله پیدا كنند. از این رو،به صورت داندانه، داندانه درمى‌‌آید. پس، خطِ منحنىِ حقیقى وجود ندارد. چنانكه سطح دایره حقیقى هم وجود نخواهد داشت. زیرا، محیط دایره از خطّ مضرّس و دندانه‌‌دار تشكیل مى‌‌شود.
مصنف براى ابطال این سخنان، مىگوید: ما همه آنها را صحیح فرض مى‌‌كنیم و مى‌‌پذیریم كه وجود همه دایره‌‌ها، مضرّس است. در هیچكدام از آنها خط منحنىِ حقیقى وجود ندارد. اكنون مى‌‌پرسیم آیا مى‌‌توان از مركز دایره كه آن هم «جزء لایتجزّى» است خطى را به محیط دایره، كشید و وصل كرد؟ یعنى آیا مى‌‌توان براى این دایره، شعاعى را رسم نمود؟ بدیهى است پاسخ این سؤال مثبت است. كسى نمى‌‌تواند بگوید رسم شعاع براى دایره ممكن نیست. حال، میان مركز دایره كه «جزء لایتجزّى» است با یك جزئى از
محیط دایره كه آن نیز «جزء لایتجزّى» است، فاصله‌‌اى وجود دارد كه مى‌‌توان آن را با یك خط مستقیم پر كرد. در محیط دایره، جزء لا‌‌یتجزّاى دیگرى در كنار جزء پیشین كه خط مستقیم بدان متصل شده، در نظر مى‌‌گیریم و ازمركز دایره، خط مستقیم دیگرى را بدان وصل مى‌‌كنیم. بدیهى است رسم چنین خطى نیز ممكن است. بنابراین، فاصله میان مركز دایره بااین جزء لا یتجزّاى جدید در محیط دایره، به وسیله یك خط مستقیم پر مى‌‌شود. حال، این پرسش مطرح مى‌‌شود كه آیا این دو شعاع بایكدیگر مساوى‌‌اند یا مساوى نیستند؟ اگر پاسخ این سؤال آن باشد كه همه شعاعهایى كه اینچنین رسم مى‌‌شوند با هم مساوى‌‌اند، معلوم مى‌‌شود دایره، یك دایره حقیقى است. زیرا، دایره حقیقى غیر از این نیست كه هرگاه از مركز دایره، شعاعهایى به سوى محیط آن رسم شود،همه آنها باهم مساوى باشند. شما كه مى‌‌گویید دایره، مضرّس و دندانه‌‌دار است معنایش آن است كه در یك نقطه این دندانه بالاتر است و درنقطه دیگر پائین‌‌تر! آنگاه اگر خط مستقیم به دندانه نخستین كه بالاتراست وصل شود، شعاع ترسیم مى‌‌گردد كه نسبت به دندانه‌‌اى كه در محیط دایره، پائین‌‌تر واقع شده بلندتر است. در نتیجه، شعاعهاى دایره، متفاوت خواهند بود.
به هر تقدیر، ما این را از شما مى‌‌پذیریم كه دو شعاعى كه پهلوى هم رسم مى‌‌كنیم از جهت طول و عرض با هم فرق دارند؛ زیرا، محیط دایره، مضرّس است. امّا، ما مى‌‌توانیم شعاع دوّم را كه یا بلندتر و یا كوتاهتر است، با افزودن و یا كاستن یك جزء لایتجزّى، مساوى شعاع نخستین‌‌اش سازیم: یعنى اگر بلندتر است، یك جزءلایتجزایش را حذف كنیم و اگر كوتاهتر است، یك جزء بر آن بیفزاییم تا بدینسان اندازه شعاع نخستین شود.
اگر بگویید: افزودن یك «جزء لایتجزّى» بر شعاع كوتاهتر، موجب بلندتر شدن
آن مى‌‌شود. چنانكه كاستن یك جزء از شعاع بلندتر، موجب كوتاهتر شدنِ آن مى‌‌گردد.
مىگوییم: پس، معلوم مى‌‌شود «جزء لایتجزّى» قابل انقسام است. چونكه اگر مقدارى از آن را بر شعاع كوتاهتر بیفزاییم، مساوى مى‌‌شود. امّا، اگر همه جزء را بر آن بیفزاییم بلندتر مى‌‌شود. بنابراین، معلوم مى‌‌شود آن جزء، لایتجزّى نیست بلكه قابل تجزیه است. در نتیجه، براى اینكه شما بگویید جزئى لایتجزّى است، باید بپذیرید كه هرگاه جزء لا‌‌یتجزّایى را بر شعاع كوتاهتر بیفزاییم، با شعاع نخستین مساوى مى‌‌شود.
حاصل آنكه اگر دایره را مضرّس و دندانه‌‌دار انگاشتید، با افزودن «جزء لایتجزّى» در میان كنگره‌‌ها و دندانه‌‌هاى بیرون آمده، خلأها پر مى‌‌شود و دایره حقیقى پدید مى‌‌آید. و اگر بگویید با افزودن جزء، دایره از آن سو، مضرّس مى‌‌شود، معلوم مى‌‌شود كه این اجزاء لا‌‌یتجزّاىِ افزوده شده به گونه‌‌اى است كه نصفِ آن، درون دندانه قرار مى‌‌گیرد؛ امّا نصف دیگرش بیرون مى‌‌ماند. پس، جزءِ مذكور، دو نصف دارد. و از این رو، جزءِ لایتجزّى نخواهد بود. هرچند در خارج پذیرنده تقسیم نباشد، ولى از جهت عقل، قابل تجزیه است. بحث ما نیز بر سر این است كه جزء لایتجزّى عقلا محال است. هرچند ممكن است در خارج جزئى باشد كه نتوان آن را شكست. بنابراین، آن جزئى را كه شما آن را لایتجزّى انگاشتید، لایتجزّى نیست.
بدینسان، اثبات مى‌‌شود كه حتى بر اساس مبناى شما، مى‌‌توانیم دایره حقیقى داشته باشیم.
ثُمَّ اِنْ كانَ فی سَطْحِها تَضْریسٌ اَیْضاً مِنْ اَجْزاء، فَاِنْ كانَتْ مَوضُوعَةً فی فُرَج اُدْخِلَتْ تِلْكَ الاَْجْزاءُ اَلْفُرَجَ لِیُسَدَّ بِها اَلْخَلَلُ مِنَ السَّطْحِ كُلُّها، وَاِنْ كانَتْ لا تَدْخُلُ الْفُرَج فَالْفُرَجُ اَقَلُّ مِنْها فِى الْقَدْرِ فَهِىَ اِذَنْ مُنْقَسِمَةٌ، اِذِ الَّذی یَمْلاَُ الْفُرَجَ اَقَلُّ حَجْماً مِنْها، وَما هُوَ كَذلِكَ
فَهُوَ فی نَفْسِهِ مُنْقَسِمٌ وَاِنْ لَمْ یُمْكِنْ فَصْلُه. وَاِنْ لَمْ تَكُنْ مَوْضُوعَةً فی فُرَج اُزیلَتْ مِنْ وَجْهِ السَّطْحِ مِنْ غَیْرِ حاجَة اِلَیْها.
تضریس در سطح دایره
اگر سطح دایره، در اثر اینكه از «اجزاى لایتجزّى» تشكیل شده، پستى و بلندى پیدا كرده در این صورت مى‌‌توان خُلَل و فُرَج را با افزودن یا كاستن اجزاى لایتجزّى، هموار كرد. به این صورت كه درفرورفتگى‌‌ها، یك جزء افزوده شود، و از برآمدگى‌‌ها، یك جزء كاسته شود. تا از این رهگذر، گودیها و فرجه‌‌هاى روى سطح، پر شود؛ و برجستگى‌‌هاى روى آن نیز زدوده شود.
امّا، اگر مى‌‌گویید اجزاء لایتجزّى، به گونه‌‌اى است كه داخل حفره‌‌ها نمى‌‌رود، در این صورت، معلوم مى‌‌شود كه اجزاى یاد شده، قابلیت كوچك شدن یا بزرگ شدن دارند. در نتیجه مى‌‌توان آنها را كوچكتر فرض كرد كه داخل حفره‌‌ها بروند. و یا بخشى از آن اجزاء، درون حفره‌‌ها قرار گیرند، و بخش دیگر آنها بیرون بمانند. بنابراین، اجزاء مذكور، «اجزاء لایتجزّى» نخواهند بود. و از آن رو كه اندازه حفره‌‌ها، كمتر از آن اجزاء است؛ پس، معلوم مى‌‌شود كه اجزاء، قابل انقسام مى‌‌باشند. زیرا، آن جزئى كه باید این حفره‌‌ها را پر كند باید از خود اجزائى كه فُرَج را تشكیل داده‌‌اند كوچكتر باشد. پس، معلوم مى‌‌شود این اجزاء، كوچكى و بزرگى دارند. و چیزى كه اینچنین باشد، فى‌‌نفسه انقسام‌‌پذیر خواهد بود. هرچند در خارج امكان ازهم گسستن آن نباشد.
و اگر «اجزاى لایتجزّى» كه موجب تضریسِ سطح دایره شده، اینها در حفره‌‌ها و روزنه‌‌ها نباشند، بلكه بر روى سطح قرار گرفته باشند؛ در این صورت، اگر از روى سطح برداشته شوند؛ سطح صاف مى‌‌شود. و دیگر نیازى به آنها نیست، و دایره حقیقى بوجود مى‌‌آید.
تضریس (دندانه‌‌دار بودن) سطح دایره
آنچه تاكنون گفتیم درباره محیط دایره بود. امّا، درباره سطح آن نیز مى‌‌گویند دایره، داراى سطحى مضرّس است. به طور مثال كلّه قندى كه به صورت مخروط است، قاعده‌‌اش دایره است. و چون ذرّات قند برجستگى دارند، از این رو، سطح دایره در قاعده این مخروط نیز صاف نبوده، برجستگى دارد.
نظیر آنچه را درباره محیط دایره و شعاعهایى كه بدان متصل مى‌‌شوند، گفتیم؛ درباره برجستگى‌‌هاى سطح دایره نیز مىگوییم:
نقاطِ برجسته سطح را كه از میانگین سطح، اضافه مى‌‌آید، حذف مى‌‌كنیم؛ یعنى جزء لا‌‌یتجزّاىِ آن را برمى‌‌داریم تا مساوى گردد.
اگر بگویید: وقتى جزءِ زائد را برمى‌‌داریم، فرورفتگى ایجاد مى‌‌شود.
مىگوییم: پس، معلوم مى‌‌شود جزءِ مذكور، جزء لایتجزّى نیست. زیرا، این جزء به گونه‌‌اى است كه وقتى آنرا در جاى كاستى، مى‌‌نهیم از میانگین سطح بالاتر مى‌‌آید، و وقتى آنرا برمى‌‌داریم، كاستى و فرورفتگى پدیدار مى‌‌گردد. پس معلوم مى‌‌شود كه آن جزء، خود، دو جزء دارد و قابل تجزیه است.
و اگر مى‌‌گویید وقتى اجزاء زائد سطح را برمى‌‌داریم، مساوى مى‌‌شود، مىگوییم به هر حال وقتى برداشتید و سطح هم‌‌گون و مساوى پدید آمد، در آن صورت، دایره حقیقى نیز پدید آمده است.
حاصل آنكه: اگر در سطح دایره، تضریس و پستى و بلندى وجود داشته باشد، مى‌‌توانیم نظیر آنچه را درباره محیط دایره گفتیم در سطح آن نیز انجام دهیم. یعنى از یك سو، در جاهاى فرو رفته، «جزء لایتجزّى» قرار مى‌‌دهیم و از سوى دیگر در نقاط برآمده و برجستگى‌‌ها، «جزء لایتجزّى» را مى‌‌كاهیم و بدینسان سطحى یكنواخت و مساوى پدید مى‌‌آوریم.
امّا، اگر مى‌‌گویید با افزودن جزء لایتجزّى در نقاط فرورفته، برجستگى ایجاد مى‌‌شود نه تساوى، در این صورت، معلوم مى‌‌شود كه جزء مذكور،
«جزء لایتجزّى» نیست، بلكه دو جزء دارد: كه یك جزء آن درون نقطه فرو رفته قرار مى‌‌گیرد و جزء دیگر آن بیرون مى‌‌ماند؛ چنانكه اگر با كاستن «جزء لایتجزّى» از نقاط برجسته، فرو رفتگى ایجاد مى‌‌شود نه تساوى، معلوم مى‌‌شود كه جزء مذكور «جزء لایتجزّى» نیست؛ بلكه دو جزء دارد: یك جزء آن از نقطه برجسته كنده مى‌‌شود و در این حدّ، تساوى بوجود مى‌‌آید و جدا شدن جزء دیگر آن، موجب فرو رفتگى مى‌‌شود.
فَاِنْ قالَ قائِلٌ: اِنَّهُ اِذا طُوبِقَ بَیْنَ الْجُزْءِ الْمَرْكَزیِّ وَبَیْنَ الْمُحیطیِّ مَرَّةً، فَلَیْسَ یُمْكِنُ التَّطْبیقُ لا بِمُماسَّة و لا بِمُوازاة مَعَ الْمَرْكَزِىِّ، وَالَّذی یَلِى ذلِكَ الْجُزْءَ مِنَ الْمُحیطِ.
فَاِنّا نَقُولُ لَهُ: اَرَأیْتَ لَوْ اَعْدَمْتَ هذِهِ الاَْجْزاءَ كُلَّها وَبَقِىَ الَّذی فی الْمَرْكَزِ وَالْمُحیطِ؟ اَهَلْ كانَ بَیْنَهُما اِسْتِقامَةٌ یُمْكِنُ اَنْ یُطَبَّقَ عَلَیْهِ هذا الْخَطّ؟ فَاِنْ لَمْ یُجَوِّزُوا ذلِكَ فَقَدْ خَرَجُوا عَنِ الْبَیِّنِ بِنَفْسِهِ، وَاَوْقَعُوا اَنْفُسَهُمْ فی شُغْل آخَرَ وَهُوَ اَنَّهُ یُمْكِنُ اَنْ تُفْرَضَ مَواضِعَ مَخْصُوصَةً فیها تَتِمَّ هذِهِ الاِْسْتِقامَةُ فِى الْخلاَِ الّذی لَهُمْ، حَتّى یَكُونَ بَیْنَ جُزْئَیْنِ فِى الْخَلاَِ اِسْتِقامَةٌ، وَبَیْنَ جُزْئَیْنِ آخَرَیْنِ لا یَكُونُ. وَهذا شَطَطٌ مُمْكِنٌ یَتَكَلَّفُهُ وَیُجَوِّزُ الْقَوْلَ بِهِ، فَلا ضَیْرَ، فَاِنَّما یَبیعُ عَقْلَهُ بِثَمَن بَخْس. فَاِنَّ الْبَدیهةَ اَیْضاً تَشْهَدُ اَنَّ بَیْنَ كُلِّ جُزْئَیْنِ تَتَّفِقُ مُحاذاةٌ لا مَحالَةَ یَمْلاَُها مِنَ الْمَلاَِ اَقْصَرُ الْمَلاَِ، اَوْ اَقْصَرُ بُعْد فِى الْمَلاَِ. وَاِنْ قالُوا: اِنّ ذلِكَ یَكُونُ، وَلكِنْ مادامَتْ هذِهِ الاَْجْزاءُ مَوجُودَةً فَلا یَكُونُ بَیْنَهُما هذِهِ الْمُحاذاةُ، وَلا یَجُوزُ اَنْ یُوازِىَ طَرَفَیْها طَرَفا مُسْتَقیم، فَهذا اَیْضاً مِنْ ذلِكَ. فَتَكُون(1) كَأَنَّ تِلْكَ الاَْجْزاءَ اِنْ وُجِدَتْ تَغَیَّر حُكْمُ الْمُحاذاةِ عَنْ حُكْمِهِ لَوْ كانَتْ مَعْدُومَةً، وَجَمیعُ هذا مِمّا لا یُشْكِلُ عَلَى الْبَدیهَةِ بُطْلانُهُ وَلاَ الْوَهْم (2) ـ الَّذی هُوَ الْقانُونُ فِى الاُْمُورِ
1. در بعضى از نسخه‌‌ها، همچون نسخه چاپ قاهره، این جمله «فتكون كأن...» سر سطر آورده شده، در حالى كه دنباله مطلب قبلى است.
2. كلمه «وهم» را كه آورده، در پرانتز آن را توضیح داده به اینكه: در امور محسوس قضاوت با وهم است. در كلّیات، عقل حاكم است. و در جزئیّات، وهم جانشین عقل مى‌‌شود و قضاوتش در چنین مواردى، حق است. چنین نیست كه وهم هرچه قضاوت كند باطل باشد. قاضى حق در امور محسوس، وهم است. و وهم نمى‌‌تواند چنین چیزى را فرض كند كه بین دو نقطه‌‌اى كه شعاعى رسم شده، نتوان شعاع دیگرى را در كنارش رسم كرد. «وهم» چنین چیزى را انكار نمى‌‌كند و از تصوّر آن ابائى ندارد.
المحسوسة و ما یتعلّق بها، كما علمت ـ یتصوره. على اَن الاجزاء التى لا تتجزأ لا تتألف منها بالحقیقة لا دائرةٌ و لا غیرُ دائرة، و انما هذا على قانون القائلین به.
از یك نقطه نمى‌‌توان چند خط به محیط دایره رسم كرد!
ممكن است كسى بگوید: آنچه را شما در باب همسان‌‌سازى سطح دایره گفتید در صورتى درست است كه بتوان دو شعاع در دایره رسم كرد و یكى را بر دیگرى تطبیق نمود و گفت این بزرگتر است یا كوچكتر!
امّا، اگر نتوان با رسم كردن نخستین خط، خط دیگرى را در كنار آن رسم كرد، آنگاه آنها را با هم مقایسه نمود و گفت این كوچكتر است و آن بزرگتر! چنانكه مستشكل همین عقیده را دارد و مىگوید به محض اینكه اوّلین خط را رسم كردیم، این خط، مركزِ دایره را به محیط وصل مى‌‌كند، و در این صورت، مركز دایره پر شده است و دیگر نمى‌‌توان خط دیگرى را بر روى آن كشید به گونه‌‌اى كه یك طرف آن روى مركز باشد و طرف دیگر آن به جزء دیگرى از محیط وصل شود ـ در این صورت، جایى براى مقایسه باقى نمى‌‌ماند تا در اثر آن با افزودن یا كاستن «جزء لایتجزّى»، كار همسان سازى انجام شود.
امكان رسم چند خط از مركز به محیط دایره
در پاسخ مىگوییم: شما پس از آنكه خط نخستین را رسم كردید، دایره را از اساس معدوم كنید به گونه‌‌اى كه فقط نقطه مركزى و نقطه بعدى در محیط
باقى بماند. شعاع نخستین به نقطه «الف» در محیط دایره، وصل شده بود؛ حال، پس از آنكه كل دایره را معدوم فرض كردیم و تنها مركز آن را بانقطه «ب» كه بعد از «الف» است باقى انگاشتیم، مى‌‌پرسیم آیا بین این مركز و آن نقطه «ب» مى‌‌توان خط مستقیمى را وصل كرد یا نه؟ اگربگویید مى‌‌توان چنین خطى را رسم كرد، مىگوییم چنانچه خط «الف»هم باشد ضررى به آن نمى‌‌زند. اگر بگویید، نمى‌‌توان چنین خطّى را رسم كرد، در این صورت مىگوییم یك امر بدیهى را انكار كرده‌‌اید.زیرا، وقتى خط نخستین رسم شد، فرض مى‌‌كنیم آن خط نیست، در این صورت آنچه باقى مى‌‌ماند، نقطه‌‌اى در مركز است و نقطه‌‌اى هم در محیطِ دایره و در كنار نقطه پیشین؛ در چنین فرض، كه مى‌‌توان خطى را رسم كرد آن را با خط قبلى مقایسه مى‌‌كنیم و مىگوییم طول آندو، به یك اندازه است یا نه؟
اگر بگویید چنین چیزى ممكن نیست، در واقع انكار بدیهى كرده‌‌اید و به تعبیر شیخ عقل خویش را به ارزانترین قیمت فروخته‌‌اید.
توضیح اشكال در قالب عبارت متن
فان قال قائل: در صورتى كه شعاعى بین جزء مركزى با جزءِ محیطى رسم شود، دیگر نمى‌‌توان شعاع دیگرى را در كنار آن رسم كرد؛ خواه به مماسّه باشد، خواه به موازات. ـ یعنى بنابر همان دو فرضى كه در كلام شیخ آمده بود: چه بگوییم شعاع دوّم، مماس با شعاع نخست است، چه بگوییم موازىِ آن است؛ هركدام از ایندو باشد، رسم شعاعِ دوّم، ممكن نخواهد بود ـ این گوینده مىگوید: خطى كه موازى خط اول باشد و جزء مركزى را با جزئى كه در محیط در كنار جزء قبلى قرار گرفته است وصل كند یعنى شعاع دوّم‌‌ـ را نمى‌‌توان رسم كرد.
در پاسخ این گوینده، مىگوییم: پس از آنكه شعاع نخست را رسم كردیم، اگر فرض كنیم كه همه اجزاى این دایره از بین برود و تنها نقطه مركزى و جزء دوّم محیط باقى بماند، در این صورت آیا مى‌‌توان خط مستقیمى را بین نقطه مركزى با آن جزء دوّم كه باقى مانده فرض كرد یا نه؟
اگر بگویید نمى‌‌توان چنین خطّى را فرض كرد، امر بدیهى و بیِّن بالذات را انكار كرده‌‌اید؛ و اگر بگویید: در صورت خالى بودن دایره از اجزاء فعلى مى‌‌توان چنین خطّى را فرض كرد امّا با وجود آنها نمى‌‌توان چنین خط موازى را فرض كرد، در واقع خود را به شغل دیگرى در افكنده‌‌اید و از بحث عقلانى بیرون رفته‌‌اید.
به هر حال، این سخن، مكابره آشكار است. زیرا، فرقى نیست در اینكه دو جزء را در خلأ فرض كنیم به گونه‌‌اى كه سایر اجزاء از بین رفته باشند، آنگاه خطى را از مركز به جزء نخست و پس از آن خطى را به جزء دوّم، وصل كنیم؛ یا اینكه خلائى را در نظر نگیریم و خطّى را پس از خط نخست از مركز به محیط، رسم كنیم.
كسى كه این سخن را مىگوید، سخن نامربوطى را مىگوید، او از روى تكلّف این سخن را مىگوید و چنین مطلبى را تجویز مى‌‌كند. البته، چنین سخنانى براى ما زیانى ندارد. این گوینده است كه با بیان این امور، عقل خویش به ارزانترین قیمت مى‌‌فروشد.
حقیقت با گواهى عقل به نحو آشكار این است كه هر جا دو جزئى وجود داشته باشد، بین این دو جزء را كوتاهترین مَلاَ، مى‌‌تواند پُر كند.(مَلاَ در مقابل خَلاَ) و كوتاهترین خط (خط مستقیم) را مى‌‌توان بین آنها رسم كرد. شما آشكارا مى‌‌توانید كوتاهترین اجزائى را از ملأ در نظر بگیرید كه دو جزء مذكور را به هم وصل كند، یا كوتاهترین بُعدى را فرض كنید كه آن دو نقطه را به هم متصل سازد. هر عقلى به طور بدیهى امكان این مطلب را تصدیق مى‌‌كند.
اشكال دیگر
اگر بگویید: مى‌‌پذیریم كه وقتى دو نقطه وجود داشته باشد، كوتاهترین ملأ مى‌‌تواند بین آندو را پر كند. یا كوتاهترین بُعد و خطِ مستقیم مى‌‌تواند آندو را به هم وصل كند. امّا، وقتى یكى از آنها رسم شد، دوّمى دیگر رسم نمى‌‌شود. به عبارت دیگر، نمى‌‌توان محاذى آن، خط دیگرى را رسم كرد. یعنى دو طرف یك خط مستقیم نمى‌‌تواند موازى دو طرفِ خط پیشین باشد.
پاسخ مصنف
مصنف مىگوید: این سخن هم از قبیل همان سخنان نامربوط است. بدلیل اینكه خطِ بعدى ضرر و زیانى براى خط قبلى ندارد؛ و از یك نقطه مى‌‌توان هزاران خط بلكه بى‌‌نهایت خط رسم كرد.
این مطالب، از چیزهایى است كه بطلانش به طور بدیهى بر عقل آشكار است. «وهم» نیز كه در امور محسوس، قضاوت مى‌‌كند نمى‌‌تواند ترسیم شعاع دیگرى را در كنار شعاعِ پیشین، ردّ كند. «وهم» چنین چیزى را انكار نمى‌‌كند و از تصوّر آن ابائى ندارد.
نكته: مصنف، در این قسمت نكته‌‌اى را به یاد مى‌‌آورد، كه توجه به آن لازم است. و آن اینكه دراستدلالى كه ما براى اثبات دایره كردیم بر «جزء لایتجزّى» تكیه شد. امّا، این در واقع بر اساس مبناى طرفِ مناظره بود. وگرنه، چنانچه جزء لایتجزّى وجود داشته باشد؛ نه دایره از آن تشكیل مى‌‌شود و نه غیر دایره. اینكه ما گفتیم براى از بین بردن تضریس، یك جزء لایتجزّى در خُلل و فُرج نهاده مى‌‌شود؛ یك بحث جدلى با كسانى بود كه قائل به جزء لایتجزّى هستند و دایره حقیقى را انكار مى‌‌كنند. وگرنه به عقیده ما «جزء لایتجزّى» خودش از جمله ممتنعات به شمار مى‌‌رود. بنابراین، بحثهاى ما بر اساس نظر قائلین به اجزاء لایتجزّى بوده است.
وَ اِذَا صَحَّتْ دائِرَةٌ صَحَّتِ الاَْشْكَالُ الْهِنْدسیَّةُ فَیَبْطُلُ الْجُزْءُ، وَ یُعْلَمُ ذلِكَ مِنْ اَنَّ كُلَّ خَطٍّ یَنْقَسِمُ بِقِسْمَیْنِ مُتَساوِیَیْنِ، وَ أنَّ قُطْراً لا یُشارِكُ ضِلْعاً وَ ما اَشْبَهَ ذلِكَ، فَاِنَّ الْخَطَّ الْفَرْدَ الاْجْزاءَ لا یَنْقَسِمُ بِقِسْمَیْنِ مُتَساوِیَیْنِ، وَ كُلُّ خَطٍّ مُؤَلَّف مِنْ اَجْزاء لا تَتَجَزَّأٌ یُشارِكُ كُلَّ خَطٍّ، وَ هذا خِلافُ ما یُبَرْهَنُ عَلَیْهِ بَعْدَ وَضْعِ الدّائِرَةِ، وَ كَذلِكَ اَشْیاءُ اُخْرى غَیرُ هذا.
جایگاه اصلى اثبات وجود دایره و سایر شكلهاى هندسى
مصنف، تاكنون یك بیان جدلى را در برابر كسانى كه منكر وجود دایره هستند بیان كرد و بر اساس اصول ایشان، استدلال نمود؛ و به این نتیجه رسید كه وجود دایره، ممكن است؛ علاوه بر آنكه امكان ذاتى دارد امكان وقوعى نیز دارد.
مقصود از اثبات وجود دائره همین است كه بتوان دائره‌‌اى را بوجود آورد، و ایجاد كردن آن، مستلزماشكال عقلى نباشد. به نظر مصنف، پس از آنكه دایره اثبات گردید، مى‌‌توان سایر شكلهاى هندسى را نیز اثبات نمود. امّا، چگونگى اثبات سایر شكلها در هندسه صورت مى‌‌پذیرد. اینجا تنها اشاره‌‌اى مى‌‌شود به اینكه پس از اثبات دایره، مى‌‌توان دو شعاع براى دایره رسم كرد، آنگاه بین آن دو شعاع را با یك خط مستقیم وصل كرد؛ و بدینسان، مثلث را پدید آورد.
راه نخست براى ابطال «جزء لایتجزّى»
براى این منظور مى‌‌توان یك مثلث متساوى‌‌الاضلاع را در نظر گرفت، كه چنانچه از رأس این مثلث به قاعده، خطى رسم شود، آن را به دو قسم، تقسیم خواهد كرد. یعنى ارتفاع دایره همواره، قاعده را در مثلث متساوى الاضلاع به دو جزء متساوى تقسیم مى‌‌كند. این خط را
مى‌‌توان از هر رأسى به ضلع برابر آن، رسم كرد، و در اثر آن، ضلع را به دو قسم متساوى، تقسیم نمود. بنابراین، ثابت مى‌‌شود كه هر خط مستقیمى از آن رو كه مى‌‌تواند ضلع، یا قاعده‌‌اى براى مثلث قرار گیرد، قابل تقسیم به دو قسم متساوى نیز مى‌‌باشد. امّا، اگر قائل به «جزء لایتجزّى» شویم و چنین بینگاریم كه خطى از هفت «جزء لایتجزّى» تشكیل شده، آن خطى كه به وسط این خط برمى‌‌خورد و آن را قطع مى‌‌كند، آن را به دو قسم، تقسیم مى‌‌كند. در یك طرفِ خط، سه جزء باقى مى‌‌ماند و در طرف دیگر آن نیز سه جزء! جزءِ وسط چه مى‌‌شود؟! لاجَرَم، آن خط باید وسطِ این جزء قرار گیرد. در نتیجه، این جزء نیز باید قابل انقسام به دو قسم باشد؛ تا خط مذكور بتواند این جزء را هم تنصیف نماید. وگرنه، در یك طرف، سه جزء قرار مى‌‌گیرد و در طرف دیگر چهار جزء! و این تنصیفِ صحیح نیست.
بنابراین، همین كه هر خطى قابل قسمت به دو جزء مساوى است، خود، ابطال كننده «جزء لایتجزّى» است.
راه دیگر براى ابطال «جزء لایتجزّى»:
در هندسه اثبات مى‌‌شود كه میان ضلع مربع و قطر آن؛ یا ضلع مستطیل با قطر آن، تشارك نیست. به دیگر سخن: عادِّ مشترك نخواهند داشت. نسبت خاصى میان ضلع و قطر وجود ندارد، از این رو، مشاركتى میان ضلع و قطر نمى‌‌باشد. در نتیجه از «اجزاء لایتجزّى» تشكیل نمى‌‌شوند. زیرا، اگر چیزى از «اجزاء لایتجزّى» تشكیل شود، «جزء لایتجزّى»، عادِّ آن خواهد بود. و وقتى عادّ آن باشد، در هر دو وجود خواهد داشت؛ در نتیجه، آن دو در این جزء، مشارك خواهند بود.
بنابراین، برخى از اضلاع و مقادیرى كه مشارك نیستند و عادّى ندارند، اصمّ مى‌‌باشند. و این، دلیل آن است كه «جزء لایتجزّى» وجود ندارد.
حال، اگر اصول موضوعه این مطلب اثبات شود كه میان ضلع و قطر، مشاركت وجود ندارد؛ در این صورت، «جزء لایتجزّى» هم ابطال مى‌‌شود.
وَ اَمّا اِثْباتُ الدّائِرَةِ عَلى اَصْلِ الْمَذْهَبِ الْحَقِّ فَیَجِبُ اَنْ نَتَكَلَّمَ فیهِ، وَ اَمَّا الاِْسْتِقامَةُ وَ وُجُوبُ مُحاذاة بَیْنَ طَرَفَیْ خَط اَذا لَزِمَهُ الْمُتَحَرِّكُ لَمْ یَكُنْ حایِداً، وَ اِنْ فارَقَه كانَ حائداً عادِلا، فَذلِكَ اَمْرٌ لا یُمْكِنْ دَفْعُهُ.
مطالب صحیح در استدلال جدلى
اما اثبات الدائره: گرچه ما باید دائره را بر اساس مذهب حق كه همان قول به جزء قابل تجزّى است اثبات كنیم. لكن برخى مطالب كه تاكنون در استدلال جدلى بیان كردیم، آنها نیز قابل دفع نیستند، آنها مطالب صحیحى مى‌‌باشند. امّا، استقامت كه در بحث جدلى بر آن تكیه كردیم، همچنین وجوب محاذات بیندو طرف یك خط [یعنى خطى كه بین دو نقطه (مركز و محیط دایره) رسم شده، و خط دیگرى كه محاذى آن قرار مى‌‌دهیم. این دو خط محاذى یكدیگرند؛ اما، اگر یكى از آنها در یك طرف خود حركت كند و در طرف دیگرش ثابت بماند، از محاذات بیرون رفته به صورت خطِ مایل در مى‌‌آید.] این مطالب، قطعى بوده و قابل انكار نیست.
توضیح عبارت
ضمیر «لزمه» به «الخط» بر مى‌‌گردد و منظور از «المتحرك» «خطٌّ آخر» است. یعنى خطّ دیگرى كه متحرك است اگر ملازم با خط نخست باشد؛ این محاذات همواره محفوظ خواهد بود. و معناى «و لم یكن حایدا» این است كه: دیگر میل نمى‌‌كند از محاذات. «و ان فارقه كان حایداً عادلا» یعنى اگر این خطّ متحرك در یك طرفِ خود، از خط نخستین مفارقت كرد؛ خطى مایل مى‌‌شود. «فذلك امرٌ لا یمكن دفعه» یعنى اینها مطالب صحیحى است كه
نمى‌‌توان انكار كرد. صرفاً به عنوان الزام خصم گفته نشده، بلكه خودِ مطالب نیز صحیح مى‌‌باشند.
توضیح مطلب
تاكنون بر اساس شیوه جدلى، دایره را اثبات كردیم؛ یعنى قائلین به «جزء لایتجزّى» را الزام كردیم به اینكه باید وجود دایره را بر اساس اصول خودشان بپذیرند. امّا، این بدان معنا نیست كه همه مقدماتى كه در این استدلالِ جدلى بكار بردیم، ذاتاً باطل بوده‌‌اند.
البته، در ضمن بحث جدلى مطالب نادرستى بود كه ما از خصم پذیرفتیم و بحث و استدلال را بر آنها بنا نهادیم؛ از جمله وجود دایره مضرّس را از خصم پذیرفتیم، چنانكه از او پذیرفتیم كه مركز دایره، خود، یك «جزء لایتجزّى» است. در حالى كه حقیقتاً اینچنین نبود. مع الوصف در لا به لاى بحثهاى ما، مطالبِ حقّى نیز وجود داشت. و آنها مى‌‌تواند اساس استدلالِ صحیحى را تشكیل دهد.
آرى، ما اینك باید براى اثبات این مطلب، از مقدمات دیگرى غیر از مقدمات جدلى، استفاده كنیم وبرهان اقامه كنیم. و این بدان معنا نیست كه همه آنچه در بحث گذشته گفتیم باطل بوده است. از جمله مطالب صحیحى كه در بحث گذشته گفتیم، مسأله استقامت بود؛ كه طىّ آن بیان كردیم كه ممكن است بین مركز دایره و محیط آن، یك خط مستقیم، رسم كرد. و این مطلبى است كه هم ما مى‌‌پذیریم و هم خصم؛ و در واقع، مطلب صحیحى است.
مطلب دیگر آن بود كه دو نقطه با هم محاذات داشته باشند؛ چنانكه یك نقطه در مركز دایره باشد و نقطه دیگر در محیط آن؛ آنگاه، پس از آنكه خط مستقیمى آن دو را به هم وصل كرد، خط دیگرى را فرض كنیم كه اگر آن را به
گونه‌‌اى حركت دهیم كه یك طرف آن ثابت و طرف دیگر آن متحرك باشد به صورت خط مایل در مى‌‌آید؛ و به جزء دوّم و نقطه دیگر در محیط دایره وصل مى‌‌شود. بنابراین، خط دوّم، نسبت به خط اوّل، موازى نخواهد بود بلكه مایل خواهد بود. این مطلب هم، مطلب حقّى بود كه در استدلال جدلى آوردیم.
البته، اثبات دایره بر اساس مذهب حقّ كه همان قول به جزء قابل تجزّى است، همچنان بر عهده ما باقى مانده است.
فَنَقُولُ: قَدْ تَبَیَّنَ فِى الطَّبیعیّاتِ مِنْ وَجْه وُجُودُ الدّائِرَةِ، وَ ذلِكَ لاَِنَّهُ تَبَیَّنَ لَنا اَنَّ جِسْماً بَسیطاً،(1) وَ تَبَیَّنَ اَنَّ كُلَّ جِسْم بَسیط فَلَهُ شَكْلٌ طَبیعىٌّ، وَ تَبَیَّنَ اَنَّ شَكْلَهُ الطَّبیعىَّ هُوَ الَّذی لا یَخْتَلِفُ اَلْبَتَّةَ فی اَجْزائِهِ، وَ لا شَىَْ مِنَ الاَْشْكالِ الْغَیْرِ الْمُسْتَدیرَةِ كَذلِكَ. فَقَدْ صَحَّ وُجُودُ الْكُرَةِ وَ قَطْعُها بِالْمُسْتَقیمِ هُوَ الدّائِرَةُ فَقَدْ صَحَّ وُجُودُ الدّائِرَةِ.
برهان نخست بر اثبات دایره
مصنف، دو برهان بر اثبات وجود دایره اقامه مى‌‌كند. یكى از آن دو، بر اساس مسائلى است كه در طبیعیات مطرح شده و در اینجا به طور مختصر اشاره‌‌اى به آن مطالب مى‌‌كند؛ حاصل آن چنین است:
1ـ در طبیعیات قدیم وجود جسم بسیط اثبات شده است. منظور از جسم بسیط اجسام فلكى یا اجسام عنصرى است كه كاملا خالص باشند. به هر حال، در این جهان، جسم بسیط وجود دارد (این مقدمه نخست)
2ـ شكل آن، شكل طبیعى است. زیرا، هیچ عاملى نیست كه به آن شكل
1. درباره تركیب این جمله، محشّین بحث كرده‌‌اند. امّا، اگر كلمه «ان» مقدم باشد، مسأله بى‌‌اشكال مى‌‌شود، و جمله اینچنین مى‌‌شود: «لانّه تبیّن ان لنا جسماً بسیطا» یعنى در طبیعیات روشن شده كه ما جسم بسیطِ طبیعى داریم.
دهد و در تشكّل آن مؤثر باشد. جز همین عنصر طبیعى و بسیطى كه دارد پس، جسم بسیط باید شكلش طبیعى باشد. (این مقدّمه دوّم).
3ـ مقدمه سوّم این است كه همه اجزاء شكل طبیعى باید متشابه باشد؛ با هم هیچ تفاوتى نداشته باشند.
نتیجه: نتیجه‌‌اى كه از مقدمات بالا بدست مى‌‌آید این است كه تنها شكلى كه مى‌‌تواند شكل طبیعى باشد در سطح، دایره است و در حجم، كُره است. زیرا، هر شكلِ دیگرى را در نظر بگیریم، اجزائش متشابه نخواهد بود. تنها دایره است كه در سطوح، همه اجزائش متشابه‌‌اند. از این رو، هرگاه از مركز تا محیط، خطى را رسم كنید، همه جا آنرا مساوى خواهید یافت. امّا، در مثلث چنین كارى را نمى‌‌توانید انجام دهید. چنانكه در مربع و سایر شكلهاى مسطّح نیز نمى‌‌توانید چنین كنید. همچنین در شكلهاى حجم‌‌دار، تنها كُره است كه همه اجزائش متشابه‌‌اند. لذا، هرگاه در كُره، شعاعى را از مركز تا محیط آنفرض كنید چنانكه تا بى‌‌نهایت شعاع مى‌‌توان در آن فرض كرد‌‌ـ همه آنها مساوى خواهند بود. هیچ فرقى بین اجزاء نیست. بنابراین، تنها شكلى كه به صورت طبیعى است؛ شكل كُره است. و چون جسم بسیط مى‌‌بایست شكل طبیعى داشته باشد از این رو، باید شكلش كروى باشد. زیرا، هیچ عاملِ دیگرى در تشكّلِ آن دخالت ندارد. و اینچنین بوده است كه كروى بودن افلاك را اثبات كرده‌‌اند. و این مطلبى است كه در طبیعیات بر اساس مبانىِ پیشینیان اثبات مى‌‌شده است؛ كه البته، فى‌‌الجمله قابل مناقشه است؛ و بر اساس مبانى جدید طبیعى نمى‌‌توان بر آن اعتماد كرد.
توضیح برهان نخست در قالب عبارت متن
«فنقول:...» در طبیعیات از یك راه، وجود دایره اثبات شده است. و آن اینكه:
الف ـ بر اساس آنچه در طبیعیات آمده، روشن است كه در عالم، جسم بسیط وجود دارد. (مقدمه نخست).
ب ـ جسم بسیط باید داراى شكلى طبیعى باشد. (مقدمه دوّم).
ج ـ شكل طبیعى نباید اختلاف اجزاء داشته باشد. بلكه باید اجزائش متشابه باشد.
تنها شكلى كه تشابه اجزا دارد در سطوح، شكل دایره است و در مجسَّمات و حجم‌‌ها، شكل كُره است. به جز دایره و كره، هیچ شكلى كه اجزائش متشابه باشد و بین اجزاء آن، اختلاف نباشد، وجود ندارد.
بنابراین، جسم بسیط باید داراى شكل كروى باشد. پس از آنكه وجود كره اثبات شد، مىگوییم: مى‌‌توان وسط كره را برید یا فرض كرد كه از وسط بریده شده، خطّى كه كره را از وسط به دو قسمِ مساوى تقسیم مى‌‌كند، در واقع یك دایره خواهد بود. دایره، خطّى است كه منصِّفِ كُره است. البته، منصِّف كُره، بزرگترین دایره‌‌اى است كه در كره رسم مى‌‌شود؛ وگرنه هر قسمت از كره را ببریم، دایره پدید مى‌‌آید. بزرگترین دایره وقتى پدید مى‌‌آید كه كُره از وسط به دو نیم تقسیم شود. لكن بُرِش‌‌هایى كه به كُره داده مى‌‌شود باید مستقیم باشد نه به صورت كج و منحرف یا دندانه‌‌دار.
وَ اَیْضاً یُمْكِنُنا اَنْ نُصَحِّحَ ذلِكَ فَنَقُولُ: مِنَ الْبَیِّنِ اَنَّهُ اِذا كانَ خَطٌّ اَوْ سَطْحٌ عَلى وَضْع مّا فَلَیْسَ مِنَ الْمُسْتَحیلِ اَنْ یُفْرَضَ لِسَطْح آخَرَ اَوْ خَطٍّ آخَرَ اَنْ یَكُونَ وَضْعُهُ بِحَیْثُ یُلاقیهِ مِنْ اَحَدِ طَرَفَیْهِ عَلى زاوِیة. وَ مِنَ الْبَیِّنِ اَنَّهُ یُمْكِنُنا اَنْ نَنْقُلَ هذا الْجِسْمَ اَوْ هذا الْخَطَّ نَقْلا كَیْفَ شِئْنا اِلى اَنْ یَصیرَ مُلاقِیاً لِذلِكَ الاْخَرِ اَوْ مَوْضُوعاً فی مَوْضِعِهِ، كَأنَّهُ یُحاذیهِ بِجَمیعِ اِمْتِدادِهِ مُلاقِیاً لَهُ اَوْ مَوْضُوعاً فی مَوْضِعِهِ اَوْ مُوازِیاً.
وَ یُمْكِنُ لِجِسْم واحِد بِعَیْنِه اَنْ یُوضَعَ عَلى وَضْع ثُمَّ یُوضَع عَلى وَضْع آخَرَ یُقاطِعُهُ وَ الْكَلامُ فِى الْجِسْمَیْنِ وَ الْجِسمِ الْواحِدِ واحِدٌ. فَاِنْ كانَتْ اِسْتِقامَةٌ وَ لَمْ تَكُنْ اِسْتِدارَةٌ لَمْ یُمْكِنْ هذا اَلْبَتَّةَ، لاَِنَّه اِذا كانَتِ الْحَرَكَةُ اِلَى الاِْنْطِباقِ عَلَى الاِْسْتِقامَةِ ذاهِبَةً فِى الطُّولِ ثُمَّ راجِعَةً اىَّ الرُّجُوعاتِ كانَتْ، اَوْ ذاهِبَةً فِى
السَّمْكِ راجِعَةً كَیْفَ كانَتْ، اَوْ ذاهِبَةً عَرْضاً مِنَ الْجِهَتَیْنِ اَوْ كَیْفَ فُرِضَتْ، فَاِنَّهُ اَذا كانَ تَحْفَظُ النُقْطَةُ الَّتی تُفْرَضُ عَلى واسِطَةِ السَّطْحِ اَوِ الْخَطِّ فی تَحْریكِها خَطّاً مُسْتَقیماً، فَاِنَّه لا یَلْقى اَلْبَتَّةَ ذلِكَ الْجِسْمَ، بَلْ یُقاطِعُهُ كَیْفَ كانَ.
وَ اَنْتَ یُمْكِنُكَ اَنْ تَفْرُضَ كُلَّ واحِد مِنْ هذِهِ الاَْقْسامِ بِالْفِعْلِ وَ تَعْتَبِرُهُ، بَلْ یَجِبُ آخِرَ الاَْمْرِ اَنْ تَتَّفِقَ حَرَكَتُهُ عَلى صِفَة اَذْكُرُها. اِمّا اَنْ یَكُونَ اَحَدُ الطَّرَفَیْنِ فیها مِنَ الْخَطّ اَوِ السَّطْحِ اَوِ الْجِسْمِ لازِماً مَوْضِعَهُ، وَ الاْخَر یَنْتَقِل، وَ ذلِكَ عَلَى الدَّوْرِ:(1) اَوْ كِلاهُما یَنْتَقِلان، وَ لكِنْ عَلى صِفَةِ اَنْ یَكُونَ اَحَدَهُما اَبْطَأَ وَ الاْخَرُ اَسْرَعُ:فَیَكُونُ الطَّرَفانِ اَوِ الْمُتَحَرِّكُ وَحْدَهُ عَلى كُلِّ حال یَفْعَلُ قَوْسَ دائِرَة. وَ اِذا صَحَّ وَجُودُ قَوْسِ دائِرَة صَحَّ اَنْ یُضْعَفَ اِلى التَّمامِ، وَ هذا عَلَى الاُْصُولِ الصَّحیحَةِ. وَ اَمّا إنْ قالَ اَحَدٌ بِالتَّفْكیكِ، فَالطَّریقَةُ الاُْولى تُناقِضُهُ.
برهان دوّم بر اثبات دایره
حاصل برهان دوّم این است: سطحى مستوى را در نظر بگیرید، به طور مثال سطح میز را در نظر آورید،آن سان كه جسمى به طور ایستاده بر روى آن قرار گرفته باشد؛ چنانكه فرضاً كتابى روى آنها نهاده شده باشد. در اینجا آیا مى‌‌توان كتاب را به گونه‌‌اى حركت داد كه درست منطبق بر سطح میز گردد؟ در عمل مى‌‌بینیم كه چنین كارى شدنى است. مى‌‌توان كتاب را به گونه‌‌اى حركت داد كه بر روى میز منطبق گردد. براى این كار، حركتى لازم است. این حركت وقتى انجام مى‌‌گیرد كه همراه آن یك قوس رسم شود. اگر بخواهید این كتاب كه بر روى میز قرار گرفته ثابت بماند، وقتى آن را به طرف میز حركت مى‌‌دهید یك قوس نود درجه رسم مى‌‌شود. این قوس را چهار برابر مى‌‌كنید تتمیم مى‌‌شود، در نتیجه دایره ساخته مى‌‌شود.
بنابراین، وقتى یك قوس منظم كه انحنائش طبق انحناء دایره، منظم است
1. یعنى یك خط دورانى رسم مى‌‌شود كه اگر تتمیم شود، دایره بوجود مى‌‌آید.
ترسیم مى‌‌شود، مى‌‌توان پس از آن یك قوس نود درجه دیگر را بدان افزود، و بدینسان نیم دایره درست كرد. آنگاه با افزودن یك نیم دایره دیگر كه همانند نیم‌‌دایره پیشین باشد یك دایره كامل رسم مى‌‌شود. بنابراین، خط دایره‌‌اى یعنى قوسى كه بتواند بخشى از یك دایره قرار گیرد و با تتمیم آن، دایره كامل تشكیل گردد، لاجَرَم وجود خواهد داشت؛ زیرا، مى‌‌توان جسمى را بر روى جسم دیگر به گونه‌‌اى حركت داد كه كاملا بر آن منطبق گردد. در این حركت، چاره‌‌اى نیست، جز آنكه یك قوس رسم شود. به هر شكل دیگرى آن را حركت دهید، منطبق بر آن نمى‌‌شود.
به طور مثال كتابى كه به طور عمودى و ایستاده بر روى میز قرار گرفته است، اگر آنرا به طرف بالا یا پائین، یا چپ و یا راست، حركت دهید بر میز منطبق نمى‌‌شود. امّا، اگر آن را به طرف میز مایل كنید و به اندازه‌‌اى به طرف پائین بیاورید كه بر روى آن قرار گیرد یا در محاذات آن (سطح میز) واقع شود، در این صورت، منطبق بر میز خواهد بود. امّا، براى این كار باید یك طرف كتاب را ثابت نگهدارید، طرف دیگرش را به سمتِ پائین بیاورید كه در این صورت یك خط منحنى رسم مى‌‌شود. بنابراین، حالتِ ایستاده و عمودىِ كتاب، جز با رسم منحنى به حالت افقى تبدیل و تغییر نخواهد یافت.
پس، همین دلیل آن است كه خط منحنى، صحیح است و دایره نیز مى‌‌تواند وجود داشته باشد.
توضیح برهان دوّم در قالب عبارت متن
«و ایضاً یمكننا...»
مقایسه دو سطح یا دو خط با هم: شما مى‌‌توانید سطحى را در نظر بگیرید كه مى‌‌خواهید آن را بر سطح دیگرى منطبق سازید؛ یا خطى را در نظر آورید كه
مى‌‌خواهید بر خط دیگر منطبق كنید. به طور مثال، سطح میز وضع خاصى دارد یعنى اكنون به صورت افقى است. مى‌‌توان سطح دیگرى را روى آن به گونه‌‌اى قرار داد كه زاویه قائمه را پدید آورد. به دیگر سخن: سطح كتاب بر روى میز به گونه‌‌اى قرار گیرد كه از موضع اتصال آن با میز، یك زاویه قائمه بوجود آید. «بحیث یلاقیه من احد طرفیه على زاویة» یعنى یك طرف این جسم را كه روى میز قرار مى‌‌دهید، بگونه‌‌اى باشد كه با تلاقى با سطح میز، یك زاویه تشكیل دهد. ـ البته، لزومى ندارد كه زاویه قائمه باشد مى‌‌توان آنرا به صورت مایل قرار داد تا زاویه حادّه یا زاویه منفرجه را پدید آورد؛ گرچه راحت‌‌ترین راه آن است كه جسم را منتصباً و به طور عمودى قرار دهیم كه طبعاً زاویه‌‌اش قائمه خواهد بود ـ «من البیّن انه یمكننا ان...» اكنون مى‌‌توانیم كتابى را كه بر روى میز قرار داده‌‌ایم، به هر سو كه بخواهیم وضعش را دگرگون كنیم. آن را به گونه‌‌اى حركت دهیم كه با سطح میز تلاقى كند.
«او موضوعاً فى موضعه» یا فرض كنیم این سطحى كه اینجا است یعنى میز را به جاى آن بگذاریم به گونه‌‌اى كه بجاى میز، كتاب داراى سطح و وضع افقى باشد و میز به صورت عمودى در آید. حال، پس از آنكه بین دو جسم چنین مقایسه‌‌اى را انجام دادیم اكنون مى‌‌توانیم این جسم را بر روى آن جسم منطبق سازیم؛ یا به جاى آن بنهیم؛ تا به گونه‌‌اى قرار گیرد كه با همه امتدادش و با همه وسعتى كه دارد، محاذى با آن شىء یا ملاقى با آن گردد؛ و یا در جاى آن قرار گیرد و یا موازى با آن باشد.
تغییر وضع جسم واحد: از جسم اوّل، صرف‌‌نظر مى‌‌كنیم؛ همین كتاب را در نظر مى‌‌آوریم، مى‌‌توانیم آن را برگردانیم تا به وضع مایل در آید. یا نخست به حال انتصاب و عمودى باشد، آنگاه آنرا به وضع خوابیده در آوریم به گونه‌‌اى كه نسبت این دو وضع، نسبت دو شىء (خط یا سطح) مقاطع باشد. درست مانند دو خطى كه یكدیگر را قطع مى‌‌كنند. «على وضع آخر یقاطعه». بنابراین،
فرقى نمى‌‌كند كه دو جسم را با هم مقایسه كنیم و بگوییم وضع این جسم، مقاطع وضع جسمِ نخست باشد. یا اینكه یك جسم را در دو وضع در نظر بگیریم كه یك وضعِ آن، مقاطع وضع دیگر باشد.
«فان كانت استقامة و لم تكن استدارة...» اگر فرض كنیم در عالم، خط منحنى وجود ندارد و استداره‌‌اى در كار نیست؛ هرچه هست، تنها خط مستقیم است و بس! چنین وضعى هیچگاه تحقق نخواهد یافت،بدین سان اگر نخواهید خط مستدیر رسم كنید تا در پرتو آن، قوسى پدید آید، نمى‌‌توانید با بالا بردن یا پائین آوردن یا این سو و آن سو بردنِ كتاب آن را بر روى سطح نخست یا وضع نخست، منطبق نمایید؛ مگر آنكه با میل كردن آن، قوسى پدید آید.
«لانه اذا كانت الحركة...» زیرا، وقتى شما مى‌‌خواهید این جسم را حركت بدهید تا بر جسم نخست منطبق گردد؛ اگر این حركت به طور مستقیم (على الاستقامه) باشد و بنا بر فرض در جهتِ طولِ كتاب باشد، هرگز بر روى میز منطبق نمى‌‌شود. چنانكه در جهت عرض نیز مطلب از این قرار است. حركت در جهت یمین و یسار موجب انطباق كتاب بر سطح میز نمى‌‌شود. همینطور اگر كتاب را در جهت ارتفاعِ (سمك) آن بالا ببرید، باز بر روى میز قرار نمى‌‌گیرد. براى اینكه منطبق شود یا موازى سطح نخست گردد، لاجَرَم باید یك حركت استداره‌‌اى به وجود آید.
بنابراین، تا حركت به صورت خط مستقیم است، هرگز انطباق صورت نمى‌‌گیرد «فانه اذا كان یحفظ...» مادامى كه نقطه فرض شده در وسط سطح یا خطى كه مى‌‌خواهید آنرا منطبق سازید، در اثر حركت آن سطح یا خط، بر خط مستقیم حركت مى‌‌كند هیچگاه این سطح بر روى آن سطح واقع نمى‌‌شود و موازىِ آن هم قرار نمى‌‌گیرد.
«بل یقاطعه كیف كان...» مادامى كه جهت حركت، خط مستقیم باشد،
همیشه این سطح با آن سطح مقاطع خواهد بود؛ نه اینكه بر روى آن قرار گیرد و موازى آن شود.
«و انت یمكنك...» شما مى‌‌توانید این كار را تجربه كنید. ببینید آیا امكان دارد كه سطح كتاب به سطح روى میز بچسبد و بر آن قرار گیرد بدون آنكه قوسى پدید آید؟!
وقتى خوب تجربه كنید سرانجام خواهید دید كه یكى از دو حال به وجود مى‌‌آید:
الف. یا این است كه ته كتاب را ثابت نگهداشته‌‌اید و كتاب را بر روى میز قرار داده‌‌اید. در این صورت، یك قوس نود درجه بوجود مى‌‌آید. آنگاه با افزودن سه قوس نود درجه دیگر، یك دایره كامل بوجود مى‌‌آید.
ب. یا اینست كه ته كتاب ثابت نمى‌‌ماند گرچه خود كتاب به طرف میز مایل مى‌‌گردد؛ امّا، ته آن نیز به حركت در مى‌‌آید. در این صورت، قوس نود درجه پدید نمى‌‌آید، ولى به هر حال یك خط منحنى ساخته مى‌‌شود.
«بل یجب آخر الامر... أذكرها» این حركتى كه بوجود مى‌‌آید تا كتاب بر سطح میز منطبق گردد، خود، صفتى دارد كه اینك آن را برایتان باز مى‌‌گویم: «اما ان یكون...»
یعنى كتابى كه بر روى میز نهاده شده دو طرف دارد. یك طرف آن به سطح میز وصل شده است و طرف دیگر آن به سمت بالا قرار دارد. براى اینكه آن را بر روى میز بخوابانید؛ طرف پائین آن را ثابت نگه مى‌‌دارید و طرف دیگر آن را (سمت بالا را) بر روى میز مایل كرده و مى‌‌خوابانید. در نتیجه، خطّى كه ملاقى با سطح میز است، از دو حال خارج نیست: یا این است كه بر جاى خود ثابت و بدون حركت مى‌‌ماند و یا به گونه‌‌اى است كه وقتى مى‌‌خواهید كتاب را بر روى میز بخوابانید، حركت مى‌‌كند. اگر چنان است كه هر دو طرف كتاب حركت مى‌‌كند، در این صورت از هر طرف آن،
یك خط منحنى رسم مى‌‌شود. حال، این دو خط منحنى مى‌‌تواند منظّم باشد به گونه‌‌اى كه قوس دایره‌‌اى را تشكیل دهد یا منظم نباشد. بستگى به كیفیت حركتِ آن دارد.
بر اساس آن فرض كه یك طرف بر جاى خود ثابت بوده، تكانى نخورد و از طرف بالا بخواهیم آن را بر روى میز خم كنیم، در این صورت، یك قوس نود درجه تشكیل مى‌‌شود. امّا، بر اساس فرض دیگر كه هم از طرف بالا آنها را تكان دهیم و هم از طرف پائین (كلاهما ینتقلان) امّا، به گونه‌‌اى كه یكى سریعتر بیاید و دیگرى كُندتر، عقب برود؛ و نظم كافى در بین نباشد؛ در این صورت نیز دو قوس از دو طرف تشكیل مى‌‌شود.
و وقتى یك قوس دایره را پدید آوردید یعنى یك نود درجه، ساخته شد؛ در این صورت مى‌‌توانید نود درجه را دو برابر یا سه برابر و چهار برابرش كنید تا یك دایره كامل پدید آید. و این مطلب، بر اساس اصول صحیحى است كه ما بدان قائل هستیم.
البته، ممكن است كسانى حرف‌‌هاى نامربوطى را مطرح كنند و بگویند: اگر جسمى بخواهد حركت كند و روى جسم دیگرى قرار گیرد، باید اجزائش از یكدیگر جدا شوند. گرچه ما نمى‌‌بینیم، ولى این اجزاء، از هم جدا مى‌‌شوند! چنین سخنانى را طریقه نخستین (نفى جزء لا یتجزّى) كه بر اساس اصول صحیح استوار است، نقض مى‌‌كند.
وَ اَیْضاً لِنَفْرُضْ جِسْماً ثَقیلا وَ نَجْعَلْ اَحَدَ طَرَفَیْهِ اَثْقَلَ مِنَ الاْخَرِ، تَجْعَلُهُ قائماً عَلى سَطْح مُسَطَّح مُماسّاً لَه بِطَرَفِهِ الاَْخَفّ حَتّى یَقُومَ قائِماً عَلَیْهِ بِحیلَة، وَ اَنَتَ تَعْلَمُ اَنَّ قِیامَهُ اِذا عَدَلَ مَیْلُهُ اِلَى الْجِهاتِ مِمّا یَسْتَمِرّ، وَ اَنّهُ اِذا اُمیلَ اِلى جِهَة وَ زالَ الدّاعِمُ حَتّى سَقَطَ فَتَحْدثُ دائِرة(1) لا مَحالَةَ اَوْ مُنْحَن.
1. منظور از دایره، خطّ منحنى منظّمى است كه هرگاه ادامه یابد، دائره كامل ساخته شود؛ و منظور از منحنى، قوسى است كه منظّم نباشد.
اَمّا كَیْفَ تَكُونُ، فَلْنَفْرُضْ نُقْطَةً فِى الرَّأْسِ الْمُماسِّ لِلسَّطْحِ، وَهِىَ اَیْضاً تَلْقى نُقْطَةً مِنَ السَّطْحِ، فَحینَئذ لا یَخْلُو اِمّا اَنْ تَثْبَتَ النُّقْطَةُ فی مَوْضِعِها، فَتَكُونُ كُلُّ نُقْطَة تَفْرِضُها فی رَأْسِ ذلِكَ الْجِسْمِ قَدْ فَعَلَتْ دائِرَةً:وَ اِمّا اَنْ یَكُونَ ـ مَعَ حَرَكَةِ هذا الطَّرَفِ اِلى اَسْفَلَ ـ یَتَحَرَّكُ الطَّرفُ الاْخَرُ اِلى فَوْق، فَیَكُونُ قَدْ فَعَلَ كُلُّ واحِد مِنَ الطَّرَفَیْنِ دائِرةً، وَ مَرْكَزُها النُّقْطَةُ الْمُتَّحددَةُ بَیْنَ الْجُزْءِ الصّاعِدِ وَالْجُزْءِ الْهابِطِ:وَ إمّا اَنْ تَتَحَرَّكَ النُّقْطَةُ مُنْجَرَّةً عَلى طُولِ السَّطْحِ، فَیَفْعَلُ الطَّرَفُ الاْخَرُ قَطْعاً او خطّاً مُنْحَنِیاً.
توضیحى فزونتر درباره برهان...
این بیان، چنانكه صدرالمتألهین(رحمه الله) نیز بدان اشاره كرده است؛ برهان جداگانه‌‌اى نیست، بلكه توضیحى است براى مطالب پیشین. اصول این مطلب، همان مطالب گذشته است. تقریر آن چنین است:
هرگاه جسمى را فرض كنید كه یك طرف آن سنگینتر و طرف دیگرش سبكتر باشد؛ چنانكه دسته هاونى را فرض كنید كه یك طرف آن سنگینتر و طرف دیگر آن سبكتر باشد در صورتى كه قسمت سبكتر را روى زمین نهید و بكوشید كه تعادل را برقرار سازید خواه آنچنان تعادل برقرار كنید كه دقیق باشد و خودش به هیچ سویى نگراید و پابرجا بر روى زمین بایستد، یا بوسیله امور خارجى، چاره‌‌اى برایش بیندیشید و به طور مثال اهرمى برایش در نظر بگیرید كه آن را از هر طرف نگهدارد. به هر حال، جسم به گونه‌‌اى قرار گیرد كه طرفِ سبكتر آن، روى زمین باشد و طرف سنگینتر آن بالا باشد.
آنگاه، این تعادل را بر هم زنید، مثلا تكانش بدهید تا تعادلش بر هم خورد یا اهرم را بردارید تا تعادل پیشین از میان برود؛ و جسم بر زمین افتد. این افتادن به دو صورت است:
الف ـ به گونه‌‌اى این افتادن و این حركت اتفاق مى‌‌افتد كه آن طرفى كه بر
روى زمین ثابت بوده، پس از این هم ثابت بماند. در این صورت، یك قوس نود درجه تشكیل مى‌‌شود.
ب ـ صورت دیگر، آن است كه جسم مذكور به گونه‌‌اى حركت داده شود كه به همان نسبت كه یك طرفِ آن پائین مى‌‌رود، طرف دیگرش بالا مى‌‌رود. چنانكه به طور فرض طرفِ سبكِ آن پائین و طرفِ سنگین آن بالا است. آنگاه، به گونه‌‌اى آن را حركت دهیم كه در وسطِ آن، نقطه‌‌اى محفوظ بماند و بر اساس آن، وزنش به دو طرف، متعادل گردد. حال، اگر نقطه یاد شده دقیقاً در وسط باشد، طبعاً بخاطر نابرابرى وزنِ دو طرفِ آن، متعادل نمى‌‌شود. از این رو، نقطه‌‌اى را باید در نظر گرفت كه این طرفِ آن با طرف دیگرِ آن، از نظر وزن مساوى باشد. اما وقتى تعادل بهم خورد، و یك طرف پائین رفت، طرف دیگر بالا برود. در چنین صورتى است كه با احتفاظِ وسطِ آن، قسمتى كه پائین مى‌‌رود یك نیم دایره تشكیل مى‌‌دهد. چنانكه قسمت دیگرش نیز كه بالا مى‌‌رود، یك نیم دایره تشكیل مى‌‌دهد. در نتیجه، دو طرفِ آن، مجموعاً یك دایره كامل را تشكیل مى‌‌دهد.
حاصل آنكه، اگر یك طرفِ آن ثابت باشد و طرف دیگرش حركت كند. یك قوس نود درجه تشكیل مى‌‌شود، وقتى آن را چهار برابر مى‌‌كنیم، یك دایره كامل، ساخته مى‌‌شود.
امّا، اگر نقطه‌‌اى از آن را در نظر بگیریم كه ثابت بماند، آنگاه به هر اندازه‌‌اى كه از یك طرف آن، پائین مى‌‌آید، طرف دیگر آن، به همان اندازه بالا رود، یك نیم دایره در یك قسمت، و یك نیم‌‌دایره در قسمت دیگر به وجود مى‌‌آید كه مجموعاً یك دایره كامل را تشكیل مى‌‌دهند.
چنانچه جسمى را كه یك طرف آن سنگینتر و طرف دیگر آن سبكتر است، بر روى یك سطح مستوى قرار دهیم، آنسان كه طرفِ سبكتر آن مماس با سطح باشد و بر روى سطح با هر حیله و تدبیرى كه مى‌‌اندیشیم
بایستد. حتى اگر در اطرافِ آن اهرمهایى را بكار بریم كه آن را نگهدارند. در صورتى كه سرپا ایستادن آن، تعدیل شود، استمرار مى‌‌یابد. چه، هرگاه تعادل جسمى حفظ شود، مدتها به همان شكل باقى مى‌‌ماند. مگر آنكه عامل خارجى تعادل آن را بر هم زند.
امّا، اگر تعادلِ آن به هم خورد و میلش رو به سویى نهاد، چنانكه اهرمِ نگهدارنده آن از آن جدا شود، در این صورت، بر زمین مى‌‌افتد. و در اثر چنین حركتى كه مى‌‌كند یا یك دایره پدید مى‌‌آید؛ یعنى قوسى از دایره(1) یا منحنى‌‌اى كه منظّم نباشد به وجود مى‌‌آید. به طور مثال بیضى یا شكل نامنظّمى كه دایره تمام بشمار نیاید پدیدار مى‌‌گردد.
حال، چگونه اینچنین مى‌‌شود؟
جسم سنگینى كه طرفِ سبك آن بر روى سطح است، نقطه‌‌اى را بر روى طرف سبك آن در نظر بگیرید كه آن نقطه مماس با این سطح باشد. در این صورت، با تماس خود، نقطه‌‌اى نیز بر روى سطح مشخص مى‌‌شود كه جسمِ مذكور، در آن نقطه با سطح، مماسّ مى‌‌گردد. در این صورت، اگر جسم از حالت تعادل خارج شود و بر روى سطح قرار گیرد نقطه تماس از دو حال خارج نخواهد بود:
الف ـ یا این است كه نقطه مذكور، به حال خود، ثابت باقى مى‌‌ماند. یعنى طرفِ مماس با سطح، همچنان در جاى خود باقى مى‌‌ماند و تكانى نمى‌‌خورد. هر نقطه‌‌اى را در هر جاى آن فرض كنید، خودش دائره‌‌اى را رسم مى‌‌كند. یعنى همچنانكه به طرف پائین مى‌‌آید، پیوسته، دایره‌‌اى را رسم مى‌‌كند.
ب ـ یا این است كه وقتى یك طرف جسم پائین مى‌‌رود، طرفِ دیگر
1. منظور از دایره یعنى خط منحنىِ منظّمى كه هرگاه ادامه یابد، دائره ساخته مى‌‌شود؛ و منظور از منحنى، قوسى است كه منظّم نباشد.
جسم، محفوظ نمى‌‌ماند. بلكه به طرف بالا مى‌‌گراید. در نتیجه، هر دو طرف، یك خط منحنى (= قوس منظمى) را كه دَوَرانى است، ترسیم مى‌‌كنند.
آنگاه، پس از آنكه دایره رسم مى‌‌شود، نصف آن در یك طرف و نصف دیگر آن، در طرف دیگر خواهد بود. و مركز دایره، همان نقطه‌‌اى است كه در جریان حركتِ جسم، ثابت مى‌‌ماند. از این رو، نقطه‌‌اى كه بین جزء «هابط» (پائین رونده) و جزء «صاعد» (بالارونده) وجود دارد، مركزِ دایره را تشكیل مى‌‌دهد. و در صورتى كه مركز دایره هم نباشد، بالاخره، نقطه ثابتى خواهد بود.
بنابراین، تاكنون دو حالت فرض كردیم: یكى اینكه نقطه ثابتى باشد و یك طرفش حركت كند؛ دیگر اینكه نقطه ثابتى نباشد. یك طرف آن پائین رود و طرف دیگر آن بالا رود.
حالتِ سومى هم مى‌‌توان در نظر گرفت، و آن اینكه وقتى یك طرفِ جسم كه سنگین است بر روى سطح واقع مى‌‌شود، طرفِ دیگر آن هم عقب‌‌تر رود و بر روى سطح كشیده شود. چنین فرضى هم در ترسیم یك خطّ منحنى، ممكن است؛ گرچه، به خودى خود، واقع نمى‌‌شود.
بنابراین، اگر نقطه‌‌اى كه از طرفِ سبك جسم، مماس بود، بر روى سطح، كشیده شود؛ در این صورت، آن طرف بالائىِ جسم كه ثقیل است، به طرف پائین مى‌‌گراید، و گرچه وقتى كشیده مى‌‌شود یك قوس كامل را رسم نمى‌‌كند، ولى قطعه‌‌اى از دایره را رسم مى‌‌كند. یعنى خطّ منحنى‌‌اى را پدید مى‌‌آورد كه دایره را بوجود نمى‌‌آورد؛ امّا، انحنا دارد.
وَ لاَِنَّ الْمَیْلَ اِلَى الْمَرْكَزِ اِنَّما هُوَ عَلَى الْمُحاذاةِ، فَمَحالٌ اَنْ تَنْجَرَّ النُّقْطَةُ عَلَى السَّطْحِ. لاَِنَّ تِلْكَ الْحَرَكَةَ اِمّا اَنْ تَكُونَ بِالْقَسْرِ اَوْ بِالطَّبْعِ، وَ لَیْسَتْ بِالطَّبْعِ وَ لَیْسَتْ بِالْقسْرِ، لاَِنَّ ذلِكَ الْقَسْرَ لا یُتَصَوَّرُ اِلاّ عَنِ الاَْجْزاءِ الَّتی هِىَ اَثْقَلُ، وَ تِلْكَ لَیْسَتْ تَدْفَعُها اِلى تِلْكَ الْجِهَةِ، بَلْ اِنْ دَفَعَتْها عَلى حِفْظِ الاِْتِّصالِ دَفَعَتْها عَلى
خِلافِ حَرَكَتِها وَ نَقَلَتْها لِیُمْكِنَ اَنْ تُنَزَّل هِىَ، كانَ الْعالِیَةُ مِنْها اِذْ هِىَ اَثْقَلُ تَطْلُبُ حَرَكَةً اَسْرَعَ، والْمُتَوَسِّطَةُ اَبْطَأَ. وَ هُناكَ اِتِّصالٌ یَمْنَعُ مَیْلا مِنْ اَنْ یَنْعَطِفَ فَیُضْطَرُّ الْعالی اِلى اَنْ یَشیلَ السّافِل حَتّى یَنْحَدِرَ، فَیَكُونُ حینَئذ اَلْجِسْمُ مُنْقَسِماً اِلى جُزْءَیْنِ: جُزْء یَمیلُ اِلىَ الْعِلْوِ قَسْراً، وَ جُزْء یَمیلُ اِلَى السِّفْلِ طَبْعاً، و بَیْنَهُما حَدٌّ هُوَ مَرْكَزٌ لِلْحَرَكَتَیْنِ، وَ قَدْ خَرَجَ مِنْهُ خَطٌّ مُسْتَقیمٌ مّا فَیْفَعَلُ الدّائِرَةَ.
فَبَیِّنٌ اَنَّهُ اِنْ لَزِمَ عَنْ اِنْحِدارِ الْجِسْمِ زَوالٌ فَهُوَ اِلى فَوْق، وَ اِنْ لَمْ یَزَلْ عَنْهُ فَوُجُودُ الدّائِرَةِ اَصَحّ. فَاِذا ثَبَتَتْ الدّائرَةُ ثَبَتَ الْمُنْحنی، لاَِنَّهُ اِذا ثَبَتَتْ الذّائِرَةُ ثَبَتَتْ الْمُثَلَّثاتُ وَ الْقائِمُ الزّاوِیَةُ اَیْضاً، وَ ثَبَتَ جَوازُ دَوْرِ اَحَدِ ضِلْعَىِ الْقائِمَةِ عَلَى الزّاوِیَةِ فَصَحَّ مَخْروُطٌ، فَاِنْ فَصَلَ مَخْروُطٌ بِسَطْح مُحارف صَحَّ قَطْعٌ. فَصَحَّ مُنْحَن.
بطلان فرض یاد شده
فرض بر این بود كه وقتى جسم به طرف پائین مى‌‌آید، طرف دیگر آن نیز بر روى سطح كشیده شود. مصنف، این فرض را، فرضِ نادرستى مى‌‌داند.
زیرا، علّتِ پائین آمدن جسمِ سنگین، طبق طبیعیات قدیم، میل و گرایش به مركز است. چون مركزِ آن، زمین است؛ میل به مركز، آن را به طرف زمین حركت مى‌‌دهد. و این یك حركت طبیعى است، و از آن رو كه هر چیزى به طرفِ طبیعت خودش مى‌‌گراید؛ بنابراین، منشأ حركتِ آن طرفِ سنگین این جسم نیزمیل به مركز مى‌‌باشد. درباره میل به مركز، حكماى طبیعى قاعده‌‌اى را بیان مى‌‌كنند كه بر اساس آن، مركز طبیعى كه مى‌‌خواهد شىء را به طرف خود بكشد، نقطه‌‌اى را به سوى خود مى‌‌كشد كه محاذى آن باشد.
حال، نقطه دیگرى كه بر روى سطح ثابت بود چرا اینك بر روى سطح كشیده مى‌‌شود؟ چه عاملى موجب مى‌‌شود كه نقطه مذكور، بر روى سطح حركت كند؟ عاملِ حركت آن از دو حال خارج نیست: الف، یا باید حركتِ آن طبیعى باشد؛ ب، یا قسرى؛ امّا، حركت طبیعى چنانكه گفتیم باید به
صورت محاذات باشد. بنابراین، جسم مذكور كه بر روى سطح كشیده مى‌‌شود، حركتش طبیعى نیست. زیرا، جهتِ آن، به طور مستقیم محاذى مركز نیست. بلكه به سمت دیگرى مى‌‌رود. از این رو، حركتِ آن طبیعى نخواهد بود. بنابراین، اگر چنین حركتى واقع شود، لاجَرَم قسرى است. حال، سؤال این است كه قاسر این حركت چیست؟ پاسخِ این سؤال، آن است كه طرفِ سنگینِ جسم، قاسر است.
تأثیر قاسر، سبب مى‌‌شود كه طرف دیگر، بالا رود. یعنى یك طرف كه به طور طبیعى با ایجاد یك قوس روى سطح قرار مى‌‌گیرد، متقابلا موجب مى‌‌شود كه طرف دیگر آن نیز به سمت بالا بگراید.
بر اساس فرض نخست، اگر نقطه را ثابت نگهدارید؛ طرفِ سنگین به طور طبیعى به سمت پائین حركت مى‌‌كند، و طرفِ دیگر به طور قسرى به سمت بالا حركت خواهد كرد.
حاصل آنكه: حركت جسمى كه بر روى سطح كشیده مى‌‌شود از دو حال خارج نیست: یا قسرى است و یا طبیعى.
امّا، طبیعى نمى‌‌تواند باشد. زیرا، حركت طبیعى، میل به مركز دارد و در جهت محاذات است نه در جهت دیگر.
حركتِ مذكور، قسرى هم نیست. زیرا، اگر قسرى باشد، باید از آن رو باشد كه طرفِ سنگین جسم كه به سمت پائین گراییده، طرفِ دیگر را قسراً به سمت بالا برده باشد؛ در حالى كه در مورد فرض، چنین نیست. و قاسرى هم وجود ندارد كه طرفِ مماس جسمِ سبك را بر روى میز بكشد. بلكه اگر اتصال اجزاء محفوظ باشد آنسان كه ما قائل هستیم و طرفِ سنگین بخواهد، طرفِ سبك را به حركت در آورد، باید خودش كه به سمت پائین مى‌‌گراید، طرفِ دیگر را بر خلافِ جهتِ آن حركت، به طرفِ بالا حركت دهد؛ و از جاى خود منتقل كند تا بتواند خودش به سمت پائین برود.
